Номер 29.28, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

29.28. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

a) $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{8}\right) \cos \left(x - \frac{\pi}{24}\right);$

б) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right).$

а) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right)\cos\left(x - \frac{\pi}{24}\right)$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму, используя формулу произведения синуса на косинус:

$\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$

В нашем случае $\alpha = x + \frac{\pi}{8}$ и $\beta = x - \frac{\pi}{24}$.

Найдем сумму и разность углов:

$\alpha + \beta = \left(x + \frac{\pi}{8}\right) + \left(x - \frac{\pi}{24}\right) = 2x + \frac{3\pi}{24} - \frac{\pi}{24} = 2x + \frac{2\pi}{24} = 2x + \frac{\pi}{12}$

$\alpha - \beta = \left(x + \frac{\pi}{8}\right) - \left(x - \frac{\pi}{24}\right) = x + \frac{\pi}{8} - x + \frac{\pi}{24} = \frac{3\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$

Подставим полученные выражения в формулу:

$y = \frac{1}{2}\left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$

Так как значение $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, то функция принимает вид:

$y = \frac{1}{2}\left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{4}$

Область значений функции синус находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin\left(2x + \frac{\pi}{12}\right) \le 1$.

Чтобы найти наименьшее значение функции ($y_{наим}$), подставим наименьшее значение синуса, равное -1:

$y_{наим} = \frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

Чтобы найти наибольшее значение функции ($y_{наиб}$), подставим наибольшее значение синуса, равное 1:

$y_{наиб} = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: наименьшее значение функции $-\frac{1}{4}$, наибольшее значение $\frac{3}{4}$.

б) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$

Для преобразования произведения синусов в сумму используем формулу произведения синусов:

$\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$

В данном случае $\alpha = x - \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x + \frac{\pi}{3}$.

Найдем разность и сумму углов:

$\alpha - \beta = \left(x - \frac{\pi}{3}\right) - \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = - \frac{2\pi}{3}$

$\alpha + \beta = \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2x$

Подставим полученные выражения в формулу:

$y = \frac{1}{2}\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) - \cos(2x)\right)$

Используя свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ и зная, что $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, получаем:

$y = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} - \cos(2x)\right) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos(2x)$

Область значений функции косинус находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos(2x) \le 1$.

Чтобы найти наименьшее значение функции ($y_{наим}$), подставим наибольшее значение косинуса, равное 1 (из-за знака "минус" перед $\cos(2x)$):

$y_{наим} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}$

Чтобы найти наибольшее значение функции ($y_{наиб}$), подставим наименьшее значение косинуса, равное -1:

$y_{наиб} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ: наименьшее значение функции $-\frac{3}{4}$, наибольшее значение $\frac{1}{4}$.