Номер 31.20, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.20. Применив подстановку $y = \cos x - \sin x$, решите уравнение $4 - 4(\cos x - \sin x) = \sin 2x$.

Для решения уравнения $4 - 4(\cos x - \sin x) = \sin 2x$ применим предложенную замену $y = \cos x - \sin x$.

Сначала выразим $\sin 2x$ через $y$. Для этого возведем в квадрат выражение для $y$:

$y^2 = (\cos x - \sin x)^2$

$y^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получаем:

$y^2 = (\cos^2 x + \sin^2 x) - (2\sin x \cos x)$

$y^2 = 1 - \sin 2x$

Отсюда находим выражение для $\sin 2x$:

$\sin 2x = 1 - y^2$

Теперь подставим $y$ и $1 - y^2$ в исходное уравнение:

$4 - 4y = 1 - y^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 - 4y + 4 - 1 = 0$

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$y_1 = 1$, $y_2 = 3$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней.

1. $y = 3$

$\cos x - \sin x = 3$

Чтобы решить это уравнение, преобразуем левую часть методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = 3$

Поскольку $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, уравнение можно записать так:

$\sqrt{2}(\cos x \cos(\frac{\pi}{4}) - \sin x \sin(\frac{\pi}{4})) = 3$

$\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 3$

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}$

Так как $\frac{3}{\sqrt{2}} > 1$, а область значений функции косинуса $[-1, 1]$, это уравнение не имеет решений.

2. $y = 1$

$\cos x - \sin x = 1$

Преобразуем аналогично предыдущему случаю:

$\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого имеет вид:

$x + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Разобьем на два случая:

а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

б) $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $2\pi n, -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.