Номер 31.33, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

31.33. а) $\frac{2 - \sin x + \cos 2x}{6x^2 - \pi x - \pi^2} = 0;$

б) $\frac{6 \sin^2 x - 6 \sin x + \cos 2x + 1}{12x^2 - 8\pi x + \pi^2} = 0.$

а) Решим уравнение $\frac{2 - \sin x + \cos 2x}{6x^2 - \pi x - \pi^2} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$\begin{cases} 2 - \sin x + \cos 2x = 0 \\ 6x^2 - \pi x - \pi^2 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $2 - \sin x + \cos 2x = 0$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$2 - \sin x + (1 - 2\sin^2 x) = 0$

$3 - \sin x - 2\sin^2 x = 0$

$2\sin^2 x + \sin x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1, 1]$:

$2t^2 + t - 3 = 0$

Находим корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25$.

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Возвращаемся к замене:

а) $\sin x = 1$. Отсюда $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = -\frac{3}{2}$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$.

Таким образом, решения уравнения числителя: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Рассмотрим условие неравенства знаменателя: $6x^2 - \pi x - \pi^2 \neq 0$.

Найдем корни уравнения $6x^2 - \pi x - \pi^2 = 0$.

Дискриминант $D = (-\pi)^2 - 4(6)(-\pi^2) = \pi^2 + 24\pi^2 = 25\pi^2$.

$x_1 = \frac{\pi + \sqrt{25\pi^2}}{2 \cdot 6} = \frac{\pi + 5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$

$x_2 = \frac{\pi - \sqrt{25\pi^2}}{2 \cdot 6} = \frac{\pi - 5\pi}{12} = \frac{-4\pi}{12} = -\frac{\pi}{3}$

Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x \neq \frac{\pi}{2}$ и $x \neq -\frac{\pi}{3}$.

3. Совместим решения с ОДЗ.

Найденные решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ должны удовлетворять ОДЗ.

Проверим, при каких значениях $n$ корень совпадает с $x = \frac{\pi}{2}$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} \implies 2\pi n = 0 \implies n = 0$.

Значит, корень, соответствующий $n=0$, а именно $x = \frac{\pi}{2}$, должен быть исключен.

Проверим, при каких значениях $n$ корень совпадает с $x = -\frac{\pi}{3}$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} \implies 2\pi n = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{6} \implies n = -\frac{5}{12}$.

Так как $n$ должно быть целым, то ни один из корней не совпадает с $-\frac{\pi}{3}$.

Исключив $n=0$ из множества целых чисел, получаем окончательное решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.

б) Решим уравнение $\frac{6 \sin^2 x - 6 \sin x + \cos 2x + 1}{12x^2 - 8\pi x + \pi^2} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 6 \sin^2 x - 6 \sin x + \cos 2x + 1 = 0 \\ 12x^2 - 8\pi x + \pi^2 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $6 \sin^2 x - 6 \sin x + \cos 2x + 1 = 0$.

Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$6 \sin^2 x - 6 \sin x + (1 - 2\sin^2 x) + 1 = 0$

$4\sin^2 x - 6\sin x + 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1, 1]$:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Находим корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня принадлежат отрезку $[-1, 1]$. Возвращаемся к замене:

а) $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.

2. Рассмотрим условие неравенства знаменателя: $12x^2 - 8\pi x + \pi^2 \neq 0$.

Найдем корни уравнения $12x^2 - 8\pi x + \pi^2 = 0$.

Дискриминант $D = (-8\pi)^2 - 4(12)(\pi^2) = 64\pi^2 - 48\pi^2 = 16\pi^2$.

$x_1 = \frac{8\pi + \sqrt{16\pi^2}}{2 \cdot 12} = \frac{8\pi + 4\pi}{24} = \frac{12\pi}{24} = \frac{\pi}{2}$

$x_2 = \frac{8\pi - \sqrt{16\pi^2}}{2 \cdot 12} = \frac{8\pi - 4\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2}$ и $x \neq \frac{\pi}{6}$.

3. Совместим решения с ОДЗ.

а) Для серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$:

Исключаем корень $x = \frac{\pi}{2}$, что соответствует $n=0$. Остаются решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.

б) Для серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$:

Исключаем корень $x = \frac{\pi}{6}$, что соответствует $k=0$. Остаются решения $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$.

в) Для серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$:

Проверим совпадение с исключаемыми точками:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi m = \frac{\pi}{2} \implies 2\pi m = \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} \implies m = -\frac{1}{6}$ (не целое).

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi m = \frac{\pi}{6} \implies 2\pi m = \frac{\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} \implies m = -\frac{1}{3}$ (не целое).

Все корни этой серии удовлетворяют ОДЗ.

Объединяем все полученные решения.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.