Номер 31.30, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

31.30. $3 \operatorname{tg} \frac{x}{2}+\operatorname{ctg} x=\frac{5}{\sin x}$

31.30.

Исходное уравнение: $3 \operatorname{tg}\frac{x}{2} + \operatorname{ctg} x = \frac{5}{\sin x}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

1. Функция $\operatorname{tg}\frac{x}{2}$ определена, если $\cos\frac{x}{2} \neq 0$. Это означает, что $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Функция $\operatorname{ctg} x$ и выражение $\frac{5}{\sin x}$ определены, если $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти условия, получаем, что ОДЗ уравнения — это все $x$, для которых $x \neq \pi n$ для любого целого $n$. Условие $x \neq \pi + 2\pi k$ является частным случаем условия $x \neq \pi n$ (при нечетных $n$).

Теперь приступим к решению уравнения. Преобразуем все тригонометрические функции в уравнении, используя формулы половинного угла. Напомним, что $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и $\sin x = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$. Также используем формулу косинуса двойного угла $\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3 \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} + \frac{\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}}{2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}} = \frac{5}{2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}$

Так как из ОДЗ следует, что $\sin x = 2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}$, не опасаясь потери или приобретения корней.

$3 \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} \cdot (2 \sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}) + (\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}) = 5$

В первом слагаемом $\cos\frac{x}{2}$ сокращается (это допустимо, так как $\cos\frac{x}{2} \neq 0$ по ОДЗ). Получаем:

$3 \cdot 2 \sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = 5$

Приводим подобные слагаемые:

$6 \sin^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} = 5$

$5 \sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} = 5$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\frac{x}{2} = 1 - \sin^2\frac{x}{2}$:

$5 \sin^2\frac{x}{2} + (1 - \sin^2\frac{x}{2}) = 5$

$4 \sin^2\frac{x}{2} + 1 = 5$

$4 \sin^2\frac{x}{2} = 4$

$\sin^2\frac{x}{2} = 1$

Из последнего равенства следует, что $\sin\frac{x}{2} = 1$ или $\sin\frac{x}{2} = -1$.

Однако, если $\sin^2\frac{x}{2} = 1$, то по основному тригонометрическому тождеству $\cos^2\frac{x}{2} = 1 - \sin^2\frac{x}{2} = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что $\cos\frac{x}{2} = 0$. Но это противоречит области допустимых значений (ОДЗ), согласно которой $\cos\frac{x}{2} \neq 0$, так как иначе $\operatorname{tg}\frac{x}{2}$ не определен.

Следовательно, уравнение не имеет решений, удовлетворяющих ОДЗ.

Ответ: корней нет.