Номер 2, страница 279, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Изобразите на координатной плоскости множество всех чисел $z \in \mathbb{C}$, у которых $\text{Re } z \ge 0$, $\text{Im } z = -1$.

Каждое комплексное число $z \in \mathbb{C}$ можно представить в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ — его действительная (вещественная) часть, а $y = \text{Im } z$ — его мнимая часть. На координатной плоскости, которую в данном контексте называют комплексной плоскостью, действительная часть $x$ соответствует координате по оси абсцисс (горизонтальная ось, или ось $\text{Re}$), а мнимая часть $y$ — координате по оси ординат (вертикальная ось, или ось $\text{Im}$).

Задача состоит в том, чтобы найти и изобразить множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих двум условиям:
1. $\text{Re } z \ge 0$
2. $\text{Im } z = -1$

Рассмотрим каждое условие в координатах $(x, y)$:

Первое условие $\text{Re } z \ge 0$ означает, что $x \ge 0$. Геометрически это множество всех точек, которые лежат на мнимой оси ($x=0$) или правее нее. Это правая полуплоскость, включая ее границу — ось $\text{Im}$.

Второе условие $\text{Im } z = -1$ означает, что $y = -1$. Геометрически это горизонтальная прямая, параллельная действительной оси и проходящая через точку $(0, -1)$ на мнимой оси.

Чтобы найти искомое множество, мы должны найти пересечение множеств, заданных этими двумя условиями. То есть, мы ищем точки на прямой $y = -1$, для которых выполняется условие $x \ge 0$.

Это множество представляет собой луч, который начинается в точке, где $x=0$ и $y=-1$ (точка $(0, -1)$), и простирается вправо вдоль прямой $y=-1$ до бесконечности. Поскольку неравенство $x \ge 0$ нестрогое, начальная точка луча, $(0, -1)$, которая соответствует комплексному числу $z = 0 - 1i = -i$, включается в это множество.

Для изображения на координатной плоскости следует:
1. Начертить оси координат: действительную ось $\text{Re } z$ (горизонтальную) и мнимую ось $\text{Im } z$ (вертикальную).
2. Отметить на мнимой оси точку $-1$.
3. Провести из точки $(0, -1)$ луч вправо, параллельно действительной оси. Этот луч и будет графическим представлением искомого множества.

Ответ: Искомое множество — это луч, выходящий из точки $z = -i$ (координаты $(0, -1)$) и идущий вправо параллельно действительной оси. Математически это множество можно описать как $\{z \in \mathbb{C} \mid z = x - i, \text{где } x \ge 0\}$.