Номер 2, страница 292, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Сформулируйте критерий равенства комплексных чисел $\rho(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ и $r(\cos \beta + i \sin \beta)$.

Критерий равенства двух комплексных чисел $z_1 = \rho(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ и $z_2 = r(\cos \beta + i \sin \beta)$, заданных в тригонометрической форме, вытекает из их геометрического представления на комплексной плоскости. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда они соответствуют одной и той же точке.

Для того чтобы точки, представляющие числа $z_1$ и $z_2$, совпадали, должны выполняться два условия:

1. Равенство модулей
Модули комплексных чисел, $\rho$ и $r$, представляют собой расстояние от начала координат до соответствующей точки на комплексной плоскости. Если точки совпадают, их расстояния до начала координат должны быть одинаковыми. Следовательно, модули чисел должны быть равны:
$\rho = r$

2. Связь между аргументами
Аргументы комплексных чисел, $\alpha$ и $\beta$, представляют собой углы, которые образуют векторы этих чисел с положительным направлением действительной оси. Если точки совпадают (и не являются началом координат, т.е. $\rho=r>0$), то их векторы должны быть сонаправлены. Это означает, что их углы могут либо совпадать, либо отличаться на целое число полных оборотов ($2\pi$ радиан). Таким образом, для ненулевых комплексных чисел их аргументы должны удовлетворять условию:
$\alpha = \beta + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Если же модуль равен нулю ($\rho = r = 0$), то число равно нулю, и его аргумент не определен. В этом случае для равенства чисел достаточно выполнения только первого условия.

Ответ: Два комплексных числа $z_1 = \rho(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ и $z_2 = r(\cos \beta + i \sin \beta)$ равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное $2\pi$. Это можно записать в виде системы условий:
$z_1 = z_2 \iff \begin{cases} \rho = r \\ \alpha = \beta + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases}$
Эта система условий полностью описывает критерий равенства. Если $\rho = r = 0$, то числа равны нулю, и второе условие не рассматривается. Если $\rho = r > 0$, то для равенства чисел должны выполняться оба условия.