Номер 3, страница 327, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Приведите пример числовой последовательности, которая:

а) ограничена снизу;

б) ограничена сверху;

в) ограничена;

г) не ограничена ни снизу, ни сверху.

а) ограничена снизу

Числовая последовательность $(a_n)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $a_n \ge m$.Для примера возьмем последовательность натуральных чисел, заданную формулой $a_n = n$.Её члены: $1, 2, 3, 4, \dots$Каждый член этой последовательности больше или равен 1, то есть $a_n \ge 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Таким образом, последовательность ограничена снизу (например, числом 1).При этом, для любого сколь угодно большого числа $M$ найдется такой номер $n$ (например, любой $n > M$), что $a_n > M$. Это означает, что последовательность не ограничена сверху.

Ответ: последовательность $a_n = n$.

б) ограничена сверху

Числовая последовательность $(a_n)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $a_n \le M$.Для примера возьмем последовательность, заданную формулой $a_n = -n$.Её члены: $-1, -2, -3, -4, \dots$Каждый член этой последовательности меньше или равен -1, то есть $a_n \le -1$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Таким образом, последовательность ограничена сверху (например, числом -1 или 0).При этом, для любого сколь угодно малого (большого по модулю отрицательного) числа $m$ найдется такой номер $n$, что $a_n = -n < m$. Это означает, что последовательность не ограничена снизу.

Ответ: последовательность $a_n = -n$.

в) ограничена

Числовая последовательность $(a_n)$ называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху. То есть, существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого натурального номера $n$ выполняется двойное неравенство $m \le a_n \le M$.Для примера возьмем последовательность, заданную формулой $a_n = \frac{1}{n}$.Её члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$Все члены этой последовательности положительны, то есть $a_n > 0$, значит она ограничена снизу числом 0.Наибольшим членом последовательности является первый член $a_1 = 1$. Все остальные члены меньше 1, то есть $a_n \le 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Значит, она ограничена сверху числом 1.Так как последовательность ограничена и снизу, и сверху, она является ограниченной. Для неё выполняется неравенство $0 < a_n \le 1$.

Ответ: последовательность $a_n = \frac{1}{n}$.

г) не ограничена ни снизу, ни сверху

Последовательность не ограничена ни снизу, ни сверху, если для любого числа $M$ найдется член последовательности, который больше $M$, и для любого числа $m$ найдется член последовательности, который меньше $m$.Для примера возьмем последовательность, заданную формулой $a_n = (-1)^n \cdot n$.Её члены: $-1, 2, -3, 4, -5, 6, \dots$Подпоследовательность членов с четными номерами ($a_{2k} = 2k$ при $n=2k$) имеет вид $2, 4, 6, \dots$ и неограниченно возрастает. Это значит, что последовательность не ограничена сверху.Подпоследовательность членов с нечетными номерами ($a_{2k-1} = -(2k-1)$ при $n=2k-1$) имеет вид $-1, -3, -5, \dots$ и неограниченно убывает (стремится к $-\infty$). Это значит, что последовательность не ограничена снизу.Следовательно, данная последовательность не ограничена ни снизу, ни сверху.

Ответ: последовательность $a_n = (-1)^n \cdot n$.