Номер 3, страница 338, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. При каких значениях $q$ предел последовательности $y_n = q^n$:

а) равен 0;

б) равен 1;

в) не существует?

Рассмотрим поведение последовательности $y_n = q^n$ при $n \to \infty$ в зависимости от значения $q$. Это классический пример сходимости геометрической прогрессии.

а) равен 0

Предел последовательности $y_n = q^n$ равен нулю, когда основание $q$ по модулю строго меньше единицы. Запишем это условие: $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$.

Это выполняется при $|q| < 1$, что эквивалентно двойному неравенству $-1 < q < 1$.

• Если $q = 0$, то $y_n = 0^n = 0$ (при $n \ge 1$), и предел очевидно равен 0.
• Если $0 < q < 1$, то $q^n$ является убывающей последовательностью положительных чисел, стремящейся к 0. Например, $(\frac{1}{2})^n \to 0$.
• Если $-1 < q < 0$, то последовательность $q^n$ является знакочередующейся. Однако ее модуль, $|q^n| = |q|^n$, стремится к нулю, так как $0 < |q| < 1$. Если $\lim_{n \to \infty} |y_n| = 0$, то и $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$.

Таким образом, предел последовательности равен 0 при $|q| < 1$.
Ответ: при $q \in (-1, 1)$.

б) равен 1

Рассмотрим, при каком значении $q$ предел последовательности $y_n = q^n$ равен единице: $\lim_{n \to \infty} q^n = 1$.

Это возможно только в одном случае: когда $q=1$.

Если $q=1$, то последовательность является постоянной: $y_n = 1^n = 1$ для любого натурального $n$. Предел постоянной последовательности равен самой этой постоянной.
$\lim_{n \to \infty} 1^n = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$.

Во всех остальных случаях (рассмотренных в пунктах а и в) предел либо равен 0, либо не существует.
Ответ: при $q = 1$.

в) не существует?

Предел последовательности $y_n = q^n$ не существует, если она не стремится к конечному числу. Это происходит в следующих случаях:

• $q > 1$: Последовательность $q^n$ монотонно возрастает и не ограничена сверху. Она стремится к бесконечности: $\lim_{n \to \infty} q^n = +\infty$. Так как предел не является конечным числом, говорят, что он не существует.
• $q = -1$: Последовательность $y_n = (-1)^n$ принимает значения $-1, 1, -1, 1, \dots$. Она является колеблющейся (осциллирующей) и не стремится к какому-либо одному значению. Следовательно, предел не существует.
• $q < -1$: Последовательность $y_n = q^n$ также является колеблющейся, но ее члены неограниченно возрастают по модулю. Например, при $q = -2$ последовательность имеет вид $-2, 4, -8, 16, \dots$. Она не стремится ни к конечному, ни к бесконечному пределу. Предел не существует.

Объединяя эти случаи, получаем, что предел не существует при $q \le -1$ или $q > 1$.
Ответ: при $q \in (-\infty, -1] \cup (1, \infty)$.