Номер 7, страница 338, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Приведите пример какой-нибудь сходящейся последовательности и укажите любую её нижнюю и верхнюю границы.

Сходящаяся последовательность — это числовая последовательность, которая имеет конечный предел. Это означает, что по мере увеличения номера $n$ члены последовательности $a_n$ неограниченно приближаются к некоторому числу $L$, которое и называется пределом последовательности ($\lim_{n \to \infty} a_n = L$).

Пример сходящейся последовательности

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена:

$a_n = \frac{1}{n}$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел).

Первые несколько членов этой последовательности выглядят так:

$a_1 = 1, \quad a_2 = \frac{1}{2}, \quad a_3 = \frac{1}{3}, \quad a_4 = \frac{1}{4}, \quad \ldots$

Эта последовательность является сходящейся, поскольку её предел существует и конечен. Найдём его:

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.

Так как предел равен 0, последовательность сходится к нулю.

Нижняя и верхняя границы

Теперь укажем любую нижнюю и верхнюю границы для этой последовательности.

Верхняя граница — это любое число $M$, которое не меньше любого члена последовательности, то есть $a_n \le M$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Последовательность $a_n = \frac{1}{n}$ является монотонно убывающей, так как с ростом $n$ знаменатель дроби увеличивается, а сама дробь уменьшается. Следовательно, её наибольшее значение — это первый член $a_1 = 1$. Таким образом, все члены последовательности не превосходят 1. В качестве верхней границы можно взять число 1. (Также верхней границей будет любое число, большее 1).

Нижняя граница — это любое число $m$, которое не больше любого члена последовательности, то есть $a_n \ge m$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Все члены последовательности $a_n = \frac{1}{n}$ положительны, так как $n$ — натуральное число. С ростом $n$ они становятся всё ближе к нулю, но никогда не достигают его и не становятся отрицательными. Это означает, что $a_n > 0$ для всех $n$. Следовательно, в качестве нижней границы можно взять число 0. (Также нижней границей будет любое число, меньшее 0).

Ответ:
Пример сходящейся последовательности: $a_n = \frac{1}{n}$.
Её верхняя граница: 1.
Её нижняя граница: 0.