Номер 1, страница 348, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Начертите график какой-либо функции $y = f(x)$, для которой выполняется соотношение:

а) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3;$

б) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1;$

в) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0.$

а) Условие $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 3$ означает, что при неограниченном увеличении $x$ (когда $x$ стремится к плюс бесконечности), значения функции $f(x)$ приближаются к числу 3. С точки зрения геометрии, это говорит о том, что у графика функции $y = f(x)$ есть правая горизонтальная асимптота, которая задается уравнением $y=3$.

Чтобы начертить такой график, можно выбрать любую функцию, которая обладает этим свойством. Например, рассмотрим функцию $f(x) = 3 + \frac{1}{x}$. При $x \to +\infty$, слагаемое $\frac{1}{x}$ стремится к 0, и, следовательно, $f(x)$ стремится к 3.

График такой функции будет приближаться к горизонтальной прямой $y=3$ справа. При этом поведение функции при малых или отрицательных значениях $x$ может быть любым, так как условие наложено только на $x \to +\infty$. График может пересекать свою асимптоту.

Ответ: Графиком является любая кривая, которая при движении вправо по оси $x$ (при $x \to +\infty$) неограниченно приближается к горизонтальной прямой $y=3$. Пример функции, удовлетворяющей условию: $f(x) = 3 + \frac{1}{x}$.

б) Условие $\lim_{x\to-\infty} f(x) = 1$ означает, что при неограниченном уменьшении $x$ (когда $x$ стремится к минус бесконечности), значения функции $f(x)$ приближаются к числу 1. Геометрически это означает, что у графика функции $y = f(x)$ есть левая горизонтальная асимптота, заданная уравнением $y=1$.

В качестве примера можно рассмотреть функцию $f(x) = 1 + e^x$. Когда $x \to -\infty$, значение показательной функции $e^x$ стремится к 0, а значит, $f(x)$ стремится к 1.

График такой функции будет приближаться к горизонтальной прямой $y=1$ слева. Поведение функции при положительных значениях $x$ может быть любым, так как условие наложено только на $x \to -\infty$.

Ответ: Графиком является любая кривая, которая при движении влево по оси $x$ (при $x \to -\infty$) неограниченно приближается к горизонтальной прямой $y=1$. Пример функции, удовлетворяющей условию: $f(x) = 1 + e^x$.

в) Условие $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$ (когда знак бесконечности не указан) обычно означает, что предел равен 0 как при $x \to +\infty$, так и при $x \to -\infty$. То есть, должны выполняться два условия: $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$ и $\lim_{x\to-\infty} f(x) = 0$.

Геометрически это означает, что ось абсцисс (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции как справа, так и слева.

Простым примером такой функции является $f(x) = \frac{1}{x^2}$. При стремлении $x$ к $+\infty$ или к $-\infty$, знаменатель $x^2$ неограниченно растет, а вся дробь стремится к 0.

График этой функции расположен в верхней полуплоскости, симметричен относительно оси $y$ и приближается к оси $x$ с обеих сторон, когда $|x|$ становится очень большим.

Ответ: Графиком является любая кривая, которая и при движении вправо ($x \to +\infty$), и при движении влево ($x \to -\infty$) неограниченно приближается к оси абсцисс ($y=0$). Пример функции, удовлетворяющей условию: $f(x) = \frac{1}{x^2}$.