Номер 6, страница 348, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. В каком случае функцию называют непрерывной на числовом промежутке?

Функцию $y = f(x)$ называют непрерывной на числовом промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Определение непрерывности зависит от того, является ли точка внутренней для промежутка или его границей (концом).

В основе лежит понятие непрерывности функции в точке. Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если предел функции при $x$, стремящемся к $x_0$, существует и равен значению функции в этой точке:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Это равенство означает, что выполнены три условия: 1. Функция определена в точке $x_0$ (т.е. $f(x_0)$ существует). 2. Существует предел $\lim_{x \to x_0} f(x)$. 3. Этот предел равен значению функции в точке $x_0$.

Исходя из этого, рассмотрим непрерывность на разных типах промежутков.

Непрерывность на интервале $(a, b)$

Функция называется непрерывной на открытом промежутке (интервале) $(a, b)$, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. То есть для любой точки $x_0 \in (a, b)$ выполняется равенство $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Непрерывность на отрезке $[a, b]$

Это самый общий случай. Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке (отрезке) $[a, b]$, если:

1. она непрерывна на интервале $(a, b)$;
2. она непрерывна справа в левой граничной точке $a$;
3. она непрерывна слева в правой граничной точке $b$.

Непрерывность справа в точке $a$ (в левом конце отрезка) определяется через односторонний предел:

$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$

Непрерывность слева в точке $b$ (в правом конце отрезка) также определяется через односторонний предел:

$\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$

Интуитивно непрерывность функции на отрезке означает, что ее график на этом отрезке является сплошной, непрерывной линией, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Непрерывность на полуинтервалах $[a, b)$ и $(a, b]$

Определения для полуинтервалов строятся по аналогии:

• Функция непрерывна на $[a, b)$, если она непрерывна на $(a, b)$ и непрерывна справа в точке $a$.
• Функция непрерывна на $(a, b]$, если она непрерывна на $(a, b)$ и непрерывна слева в точке $b$.

Ответ: Функцию называют непрерывной на числовом промежутке, если она непрерывна в каждой внутренней точке этого промежутка, а в граничных точках (если они принадлежат промежутку) она непрерывна с соответствующей стороны. Для отрезка $[a, b]$ это означает, что функция непрерывна в каждой точке интервала $(a, b)$, непрерывна справа в точке $a$ ($\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$) и непрерывна слева в точке $b$ ($\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$).