Номер 5, страница 357, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Приведите пример графика функции, у которого касательную нельзя провести:

а) в одной точке;

б) в двух точках.

Касательную к графику функции нельзя провести в точке, если в этой точке функция не является дифференцируемой. Основные причины отсутствия производной в точке:

• Точка излома (угол): односторонние производные (слева и справа) существуют, но не равны друг другу.
• Точка разрыва: функция не является непрерывной в этой точке.
• Вертикальная касательная: предел отношения приращения функции к приращению аргумента равен бесконечности.

Рассмотрим примеры, основанные на создании точек излома.

а) в одной точке
Простейшим примером функции, у которой нельзя провести касательную в одной точке, является модуль. Рассмотрим функцию $y = |x|$.
График этой функции представляет собой две прямые, выходящие из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Эти две прямые образуют "угол" или "излом" в точке $(0, 0)$.
В точке $x = 0$ производная не существует. Производная справа от нуля равна 1 (тангенс угла наклона прямой $y=x$), а производная слева от нуля равна -1 (тангенс угла наклона прямой $y=-x$). Так как производные слева и справа не совпадают ($1 \ne -1$), то в точке $x = 0$ невозможно провести единственную касательную. Во всех остальных точках касательная существует и совпадает с самим графиком функции.

Ответ: Функция $y = |x|$, у которой нельзя провести касательную в точке $x = 0$.

б) в двух точках
Чтобы получить функцию с двумя точками, в которых нельзя провести касательную, можно "создать" два излома на графике. Этого можно достичь, например, взяв модуль от функции, которая имеет два корня.
Рассмотрим функцию $y = |x^2 - 4|$.
Сначала построим график параболы $y = x^2 - 4$. Это стандартная парабола, смещенная на 4 единицы вниз. Она пересекает ось абсцисс в точках, где $x^2 - 4 = 0$, то есть в точках $x = -2$ и $x = 2$.
Применение модуля $y = |x^2 - 4|$ означает, что вся часть графика, которая находится ниже оси $Ox$ (между $x=-2$ и $x=2$), симметрично отражается вверх относительно этой оси. В результате в точках $x = -2$ и $x = 2$ образуются острые "углы" (изломы).
В этих двух точках производная не существует, так как односторонние производные не равны. Например, в точке $x = 2$:

• Справа от $x=2$ функция ведет себя как $y = x^2 - 4$, и ее производная $y' = 2x$ в точке $x=2$ равна $2 \cdot 2 = 4$.
• Слева от $x=2$ функция ведет себя как $y = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$, и ее производная $y' = -2x$ в точке $x=2$ равна $-2 \cdot 2 = -4$.

Поскольку $4 \ne -4$, в точке $x=2$ касательную провести нельзя. Аналогичная ситуация и в точке $x=-2$.

Ответ: Функция $y = |x^2 - 4|$, у которой нельзя провести касательную в точках $x = -2$ и $x = 2$.