Номер 8, страница 357, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8. В чём состоит геометрический смысл производной?

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что её значение равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс.

Рассмотрим этот вывод по шагам. Пусть у нас есть дифференцируемая функция $y = f(x)$.

1. Секущая и её угловой коэффициент.
   Возьмём на графике функции две точки: $M_0$ с координатами $(x_0, f(x_0))$ и $M$ с координатами $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$. Прямая, проходящая через эти две точки, называется секущей. Её угловой коэффициент $k_{сек}$ — это отношение приращения функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$.
   $k_{сек} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
   Этот коэффициент равен тангенсу угла наклона $\beta$ секущей к оси Ox.

2. Переход от секущей к касательной.
   Касательная к графику функции в точке $M_0$ — это предельное положение секущей $M_0M$, когда точка $M$ стремится к точке $M_0$ вдоль кривой. Это стремление означает, что приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю ($\Delta x \to 0$).

3. Угловой коэффициент касательной.
   Соответственно, угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ в точке $M_0$ является пределом углового коэффициента секущей $k_{сек}$ при $\Delta x \to 0$:
   $k_{кас} = \lim_{\Delta x \to 0} k_{сек} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

4. Связь с определением производной.
   Предел, полученный в предыдущем пункте, по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, обозначаемой как $f'(x_0)$.
   Следовательно, мы устанавливаем ключевую связь:
   $f'(x_0) = k_{кас}$

Таким образом, значение производной в точке $x_0$ численно равно угловому коэффициенту касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Если $\alpha$ — это угол наклона касательной к положительному направлению оси Ox, то:

$f'(x_0) = \tan \alpha$

Это свойство позволяет, например, составить уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$. Оно имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Ответ: Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ состоит в том, что её значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведённой к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.