Номер 1, страница 369, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Объясните, почему касательная к графику функции $y=\sin x$ в точке $x=0$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

1. Объясните, почему касательная к графику функции $y=\sin x$ в точке $x = 0$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

Угол, который касательная к графику функции образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox), можно найти через угловой коэффициент этой касательной. Угловой коэффициент $k$ прямой связан с углом её наклона $\alpha$ соотношением $k = \tan \alpha$.

Согласно геометрическому смыслу производной, угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в точке $x_0$. То есть, $k = f'(x_0)$.

Объединяя эти два факта, получаем: $\tan \alpha = f'(x_0)$.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем производную заданной функции $f(x) = \sin x$.
$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

2. Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 0$.
$f'(0) = \cos(0) = 1$.

3. Значение производной в этой точке и есть угловой коэффициент касательной:
$k = 1$.

4. Найдем угол наклона $\alpha$ из уравнения $\tan \alpha = k$.
$\tan \alpha = 1$.

Решением этого тригонометрического уравнения (для угла наклона прямой, который обычно рассматривается в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$) является $\alpha = 45^\circ$.

Таким образом, касательная к графику функции $y = \sin x$ в точке $x = 0$ действительно составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

Ответ: Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке. Для функции $f(x) = \sin x$ производная равна $f'(x) = \cos x$. В точке $x_0=0$ значение производной $f'(0)=\cos(0)=1$. Угловой коэффициент $k$ связан с углом наклона касательной $\alpha$ формулой $k = \tan\alpha$. Следовательно, $\tan\alpha = 1$, откуда $\alpha = 45^\circ$.