Номер 3, страница 369, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Сформулируйте правило вычисления производной суммы двух функций.

Правило вычисления производной суммы двух функций, также известное как правило дифференцирования суммы, является одним из основных правил в дифференциальном исчислении.

Словесная формулировка правила

Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме их производных.

Математическая запись (формула)

Если функции $u(x)$ и $v(x)$ имеют производные в точке $x$, то и их сумма $f(x) = u(x) + v(x)$ также имеет производную в этой точке, причем: $$ (u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x) $$ Это правило можно обобщить на любое конечное число слагаемых: $$ (f_1(x) + f_2(x) + \dots + f_n(x))' = f_1'(x) + f_2'(x) + \dots + f_n'(x) $$

Доказательство

Доказательство этого правила основывается на определении производной. Пусть $f(x) = u(x) + v(x)$. По определению производной: $$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$ Подставим в эту формулу выражение для $f(x)$: $$ (u(x) + v(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) + v(x + \Delta x)) - (u(x) + v(x))}{\Delta x} $$ Теперь сгруппируем слагаемые в числителе: $$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x)) + (v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x} $$ Разделим дробь на сумму двух дробей: $$ = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} \right) $$ Используя свойство предела суммы (предел суммы равен сумме пределов), получим: $$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} $$ Первый предел по определению равен производной функции $u(x)$, а второй — производной функции $v(x)$. Следовательно: $$ = u'(x) + v'(x) $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Производная суммы двух функций равна сумме их производных. Если $u(x)$ и $v(x)$ — дифференцируемые функции, то $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.