Номер 3, страница 392, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Что такое точка минимума функции? Что такое точка максимума функции?

Что такое точка минимума функции?

Точка минимума функции — это точка на оси абсцисс (значение аргумента $x$), в которой значение функции меньше или равно значениям во всех соседних точках. Геометрически это соответствует «впадине» на графике функции. Важно отметить, что речь идет о локальном минимуме, то есть значение функции является наименьшим только в определенной окрестности этой точки. На всей области определения функция может иметь и другие точки минимума, а также принимать значения еще меньше, чем в данной точке.

Строгое определение: точка $x_0$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ с некоторым $\delta > 0$, что для любого $x$ из этой окрестности выполняется неравенство:$f(x) \ge f(x_0)$Если неравенство строгое ($f(x) > f(x_0)$ для $x \ne x_0$), то $x_0$ называется точкой строгого локального минимума.

Для нахождения точек минимума дифференцируемой функции используют производную.

• Необходимое условие: Если $x_0$ — точка минимума, то производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю ($f'(x_0) = 0$), называются стационарными.
• Достаточное условие: Стационарная точка $x_0$ является точкой минимума, если при переходе через нее (слева направо) производная $f'(x)$ меняет знак с «–» на «+». Также, если $f'(x_0) = 0$ и вторая производная в этой точке положительна ($f''(x_0) > 0$), то $x_0$ — точка минимума.

Нужно различать «точку минимума» (это значение аргумента $x_0$) и «минимум функции» (это значение функции в этой точке $f(x_0)$).

Ответ: Точка минимума функции — это значение аргумента $x_0$, для которого существует окрестность, в пределах которой значение функции $f(x_0)$ является наименьшим.

Что такое точка максимума функции?

Точка максимума функции — это точка на оси абсцисс (значение аргумента $x$), в которой значение функции больше или равно значениям во всех соседних точках. Геометрически это выглядит как «вершина» или «пик» на графике функции. Как и минимум, максимум является локальным понятием. Это означает, что значение функции является наибольшим лишь в некоторой окрестности данной точки.

Строгое определение: точка $x_0$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ с некоторым $\delta > 0$, что для любого $x$ из этой окрестности выполняется неравенство:$f(x) \le f(x_0)$Если неравенство строгое ($f(x) < f(x_0)$ для $x \ne x_0$), то $x_0$ называется точкой строгого локального максимума.

Правила нахождения точек максимума с помощью производной аналогичны правилам для точек минимума.

• Необходимое условие: В точке максимума $x_0$ производная $f'(x_0)$ должна быть равна нулю или не существовать.
• Достаточное условие: Стационарная точка $x_0$ является точкой максимума, если при переходе через нее производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «–». Альтернативно, если $f'(x_0) = 0$ и вторая производная в этой точке отрицательна ($f''(x_0) < 0$), то $x_0$ — точка максимума.

Точки минимума и максимума объединяются общим термином — точки экстремума.

Ответ: Точка максимума функции — это значение аргумента $x_0$, для которого существует окрестность, в пределах которой значение функции $f(x_0)$ является наибольшим.