Номер 4, страница 369, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Сформулируйте правило вычисления производной произведения двух функций.

Правило вычисления производной произведения двух функций (также известное как правило Лейбница) гласит: производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную второй функции.

В виде формулы это правило записывается так. Если $u(x)$ и $v(x)$ — дифференцируемые функции, то производная их произведения $f(x) = u(x)v(x)$ равна:

$ (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $

Или в более краткой нотации:

$ (uv)' = u'v + uv' $

Для полноты ответа приведем доказательство этой формулы. Оно основывается на определении производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента.

Пусть $f(x) = u(x)v(x)$. По определению производной:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} $

В числителе дроби прибавим и вычтем слагаемое $u(x)v(x + \Delta x)$. Это преобразование не изменит значения выражения:

$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x + \Delta x) + u(x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} $

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$ \lim_{\Delta x \to 0} \left( v(x + \Delta x) \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + u(x) \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} \right) $

Используя свойство предела суммы и предела произведения, получаем:

$ \lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} u(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} $

Так как по определению $u'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}$ и $v'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$, а из-за непрерывности дифференцируемой функции $v(x)$ следует, что $\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) = v(x)$, мы можем подставить эти значения в выражение:

$ v(x) \cdot u'(x) + u(x) \cdot v'(x) $

Переставляя слагаемые, получаем итоговую формулу: $u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$, что и требовалось доказать.

Рассмотрим пример применения правила. Найдем производную функции $f(x) = x^3 \cos(x)$.

Обозначим $u(x) = x^3$ и $v(x) = \cos(x)$.

Их производные равны: $u'(x) = 3x^2$ и $v'(x) = -\sin(x)$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (3x^2)(\cos(x)) + (x^3)(-\sin(x)) = 3x^2 \cos(x) - x^3 \sin(x) $.

Ответ: Правило вычисления производной произведения двух функций $u(x)$ и $v(x)$ заключается в следующем: производная произведения равна сумме произведения производной первой функции на вторую и произведения первой функции на производную второй. Формула: $(uv)' = u'v + uv'$.