Номер 2, страница 369, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Объясните, почему касательная к графику функции $y = \cos x$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $135^\circ$.

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что её значение равно тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угол наклона $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Таким образом, для функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ справедливо равенство: $k = \tan \alpha = f'(x_0)$, где $k$ — угловой коэффициент касательной.

В данной задаче рассматривается функция $y = \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$. Чтобы объяснить, почему угол наклона касательной в этой точке равен $135^\circ$, необходимо найти значение производной и приравнять его к тангенсу угла.

1. Найдём производную функции $y = \cos x$:
$y' = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$. Это значение и будет являться угловым коэффициентом $k$ касательной в этой точке:
$k = y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

3. Зная, что $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, получаем:
$k = -1$.

4. Теперь, когда мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен $-1$, мы можем найти соответствующий ему угол наклона $\alpha$, решив уравнение:
$\tan \alpha = k = -1$.

Единственным решением этого уравнения в диапазоне углов от $0^\circ$ до $180^\circ$ является $\alpha = 135^\circ$, поскольку $\tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

Таким образом, мы показали, что касательная к графику функции $y = \cos x$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$ имеет угловой коэффициент $-1$, что соответствует углу наклона $135^\circ$ к положительному направлению оси абсцисс.

Ответ: Значение производной функции $y = \cos x$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$ равно $y'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$. Угловой коэффициент касательной $k$ в этой точке равен значению производной, то есть $k = -1$. Угол наклона $\alpha$ касательной к положительному направлению оси абсцисс связан с угловым коэффициентом формулой $k = \tan \alpha$. Из уравнения $\tan \alpha = -1$ следует, что $\alpha = 135^\circ$.