Номер 14, страница 358, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14. Приведите пример графически заданной функции, которая дифференцируема во всех точках числовой прямой за исключением:

а) одной точки;

б) двух точек;

в) трёх точек.

а) Рассмотрим функцию $y = |x|$. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. В точке $(0, 0)$ график имеет излом (угол), поэтому в этой точке функция не является дифференцируемой. Формально, производная функции в точке $x=0$ не существует, так как односторонние производные не равны:

• Производная справа (для $x > 0$): $y' = (x)' = 1$.
• Производная слева (для $x < 0$): $y' = (-x)' = -1$.

Поскольку $1 \neq -1$, функция недифференцируема в точке $x=0$. Во всех остальных точках ($x \neq 0$) функция является линейной ($y=x$ или $y=-x$), и её производная существует. Таким образом, функция $y = |x|$ дифференцируема во всех точках числовой прямой, за исключением одной точки $x=0$.

Ответ: Примером такой функции является $y = |x|$.

б) Рассмотрим функцию $y = |x+1| + |x-1|$. Эта функция также непрерывна на всей числовой прямой. Раскроем модули на разных промежутках:

• При $x < -1$: $y = -(x+1) - (x-1) = -x-1-x+1 = -2x$.
• При $-1 \le x < 1$: $y = (x+1) - (x-1) = x+1-x+1 = 2$.
• При $x \ge 1$: $y = (x+1) + (x-1) = 2x$.

График функции состоит из трёх прямолинейных участков. Точки "стыка" этих участков, $x=-1$ и $x=1$, являются точками возможной недифференцируемости. Найдём односторонние производные в этих точках:

• В точке $x = -1$:
  • Производная слева (от функции $y=-2x$): $y' = -2$.
  • Производная справа (от функции $y=2$): $y' = 0$.
  Поскольку $-2 \neq 0$, функция недифференцируема в точке $x=-1$.
• В точке $x = 1$:
  • Производная слева (от функции $y=2$): $y' = 0$.
  • Производная справа (от функции $y=2x$): $y' = 2$.
  Поскольку $0 \neq 2$, функция недифференцируема в точке $x=1$.

Во всех остальных точках функция локально является линейной, а значит, дифференцируема. Таким образом, данная функция недифференцируема ровно в двух точках.

Ответ: Примером такой функции является $y = |x+1| + |x-1|$.

в) Рассмотрим функцию $y = ||x| - 1|$. Эта функция непрерывна на всей числовой прямой. Точки, в которых аргументы модулей обращаются в ноль, являются потенциальными точками недифференцируемости.

• Внутренний модуль $|x|$: аргумент равен нулю при $x=0$.
• Внешний модуль $||x|-1|$: аргумент равен нулю, когда $|x|-1 = 0$, то есть $|x|=1$, что даёт две точки $x=1$ и $x=-1$.

Исследуем на дифференцируемость в этих трёх точках: $x=-1$, $x=0$, $x=1$. Для этого запишем функцию в кусочно-заданном виде: $y(x) = \begin{cases} -(x+1), & \text{если } x < -1 \\ x+1, & \text{если } -1 \le x < 0 \\ 1-x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ x-1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Теперь найдём производные на каждом интервале: $y'(x) = \begin{cases} -1, & \text{если } x < -1 \\ 1, & \text{если } -1 < x < 0 \\ -1, & \text{если } 0 < x < 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Сравним односторонние производные в точках излома:

• В точке $x = -1$: производная слева равна -1, производная справа равна 1. Они не равны.
• В точке $x = 0$: производная слева равна 1, производная справа равна -1. Они не равны.
• В точке $x = 1$: производная слева равна -1, производная справа равна 1. Они не равны.

Следовательно, функция недифференцируема в точках $x=-1, 0, 1$. Во всех остальных точках она дифференцируема. График этой функции имеет характерную W-образную форму с тремя "углами".

Ответ: Примером такой функции является $y = ||x| - 1|$.