Страница 358, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11. Какую функцию называют дифференцируемой в точке?

Функцию $y = f(x)$ называют дифференцируемой в точке $x_0$, если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует конечный предел отношения приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Этот предел называется производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ и обозначается как $f'(x_0)$.

Таким образом, условие дифференцируемости функции в точке — это существование конечной производной в этой точке, которая вычисляется по формуле:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Эквивалентное определение

Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, если её приращение $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ в этой точке можно представить в виде суммы линейной части и бесконечно малой более высокого порядка:

$\Delta f = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)$ при $\Delta x \to 0$

Здесь $A$ — это константа, равная значению производной $f'(x_0)$, а $o(\Delta x)$ — это функция, для которой выполняется условие $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = 0$. Выражение $A \cdot \Delta x$ является главной линейной частью приращения функции и называется её дифференциалом $dy$.

Геометрический смысл

Дифференцируемость функции в точке означает, что график функции в этой точке имеет единственную невертикальную касательную. Угловой коэффициент этой касательной равен значению производной $f'(x_0)$. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Связь с непрерывностью

Если функция дифференцируема в точке, то она обязательно непрерывна в этой точке. Однако обратное утверждение не всегда верно: непрерывная функция может не быть дифференцируемой. Например, функция $f(x) = |x|$ непрерывна в точке $x=0$, но не дифференцируема в ней, так как её график имеет в этой точке "излом", и провести единственную касательную невозможно.

Ответ: Функцией, дифференцируемой в точке $x_0$, называется функция $f(x)$, для которой в этой точке существует конечная производная. Это эквивалентно тому, что приращение функции в окрестности этой точки можно аппроксимировать линейной функцией (с точностью до бесконечно малой более высокого порядка), а график функции в данной точке имеет единственную невертикальную касательную.

12. Как по графику функции сделать вывод о её дифференци-руемости?

Чтобы по графику функции $y = f(x)$ сделать вывод о её дифференцируемости в некоторой точке $x_0$, необходимо проанализировать поведение графика в окрестности этой точки.

Основной критерий связан с геометрическим смыслом производной. Производная функции $f'(x_0)$ в точке $x_0$ — это тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой $x_0$.

Отсюда следует правило: функция дифференцируема в точке $x_0$, если в этой точке к её графику можно провести единственную невертикальную касательную.

Визуально это означает, что в точке дифференцируемости график является "гладким", без резких изломов, разрывов или вертикального подъема.

Соответственно, функция не является дифференцируемой в точках, где её график имеет характерные особенности.

1. Точки разрыва

Фундаментальное свойство: если функция дифференцируема в точке, то она в ней непрерывна. Следовательно, если в точке $x_0$ график функции имеет разрыв (любого вида: "выколотая" точка, скачок), то в этой точке функция недифференцируема.

2. Точки излома (углы)

Это точки, в которых график функции резко меняет своё направление, образуя "угол" или "пик". В таких точках невозможно провести единственную касательную. Пределы отношения приращения функции к приращению аргумента слева и справа от точки $x_0$ существуют, но не равны друг другу. Это означает, что односторонние производные не совпадают: $f'_-(x_0) \neq f'_+(x_0)$.
Классический пример — функция $y = |x|$ в точке $x=0$. График имеет излом. Слева от нуля наклон касательной равен -1, а справа +1. В самой точке $x=0$ производная не существует.

3. Точки с вертикальной касательной

Это точки, где касательная к графику становится вертикальной, то есть параллельной оси OY. Угол наклона такой касательной равен $90^\circ$ или $-90^\circ$, а тангенс этого угла не определён (стремится к бесконечности). Следовательно, производная в такой точке не существует.
Пример — функция $y = \sqrt[3]{x}$ в точке $x=0$. Касательной к графику в этой точке является сама ось OY, то есть вертикальная прямая.

Ответ: Чтобы определить дифференцируемость функции по её графику, нужно проверить следующее:

• Функция дифференцируема в точке, если её график в этой точке и её малой окрестности — это гладкая непрерывная кривая, к которой можно провести ровно одну касательную, не параллельную оси OY.
• Функция недифференцируема в точке, если в этой точке график имеет:
  1. Разрыв (любого типа).
  2. Излом (угол, пик).
  3. Вертикальную касательную.

13. Какая существует связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке?

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке является односторонней. Дифференцируемость — это более сильное свойство, чем непрерывность. Это можно выразить в виде двух основных положений.

1. Дифференцируемость функции в точке влечет ее непрерывность в этой точке

Это является фундаментальной теоремой математического анализа. Если функция $f(x)$ имеет производную в точке $x_0$, то она обязательно непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. По определению, это означает, что существует конечный предел, равный производной $f'(x_0)$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)$

Для доказательства непрерывности функции $f(x)$ в точке $x_0$, нам необходимо показать, что предел функции при стремлении аргумента к $x_0$ равен значению функции в этой точке. Это эквивалентно следующему условию:

$\lim_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) = 0$

Рассмотрим разность $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Преобразуем это выражение, умножив и разделив его на $\Delta x$ (при условии, что $\Delta x \neq 0$):

$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \cdot \Delta x$

Теперь найдем предел этого выражения при $\Delta x \to 0$, используя теорему о пределе произведения:

$\lim_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \cdot \Delta x \right) = \left( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \right) \cdot \left( \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x \right)$

Первый сомножитель в правой части равен $f'(x_0)$ (по условию дифференцируемости), а второй равен 0. Таким образом, получаем:

$f'(x_0) \cdot 0 = 0$

Мы доказали, что $\lim_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) = 0$, что и требовалось для доказательства непрерывности функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Ответ: Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Таким образом, дифференцируемость является достаточным условием для непрерывности.

2. Непрерывность функции в точке не влечет ее дифференцируемость в этой точке

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не иметь в ней производной. Это означает, что непрерывность является необходимым, но не достаточным условием для дифференцируемости.

Контрпример:

Рассмотрим функцию $f(x) = |x|$ в точке $x_0 = 0$.

Эта функция непрерывна в точке $x_0 = 0$, поскольку предел функции равен ее значению в этой точке:

$\lim_{x \to 0} |x| = 0$ и $f(0) = |0| = 0$.

Теперь проверим ее на дифференцируемость в точке $x_0 = 0$. Для этого нужно найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|0 + \Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$

Чтобы этот предел существовал, односторонние пределы (справа и слева) должны существовать и быть равны.

Предел справа (когда $\Delta x \to 0^+$): $\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.

Предел слева (когда $\Delta x \to 0^-$): $\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$.

Так как односторонние пределы не равны ($1 \neq -1$), общий предел не существует. Следовательно, функция $f(x) = |x|$ не является дифференцируемой в точке $x_0=0$, хотя и является в ней непрерывной.

Геометрически это означает, что график функции $y = |x|$ является непрерывной линией, но в точке $(0,0)$ имеет излом (острую вершину), в которой невозможно однозначно провести касательную.

Ответ: Непрерывность функции в точке не является достаточным условием для ее дифференцируемости в этой же точке.

14. Приведите пример графически заданной функции, которая дифференцируема во всех точках числовой прямой за исключением:

а) одной точки;

б) двух точек;

в) трёх точек.

а) Рассмотрим функцию $y = |x|$. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. В точке $(0, 0)$ график имеет излом (угол), поэтому в этой точке функция не является дифференцируемой. Формально, производная функции в точке $x=0$ не существует, так как односторонние производные не равны:

• Производная справа (для $x > 0$): $y' = (x)' = 1$.
• Производная слева (для $x < 0$): $y' = (-x)' = -1$.

Поскольку $1 \neq -1$, функция недифференцируема в точке $x=0$. Во всех остальных точках ($x \neq 0$) функция является линейной ($y=x$ или $y=-x$), и её производная существует. Таким образом, функция $y = |x|$ дифференцируема во всех точках числовой прямой, за исключением одной точки $x=0$.

Ответ: Примером такой функции является $y = |x|$.

б) Рассмотрим функцию $y = |x+1| + |x-1|$. Эта функция также непрерывна на всей числовой прямой. Раскроем модули на разных промежутках:

• При $x < -1$: $y = -(x+1) - (x-1) = -x-1-x+1 = -2x$.
• При $-1 \le x < 1$: $y = (x+1) - (x-1) = x+1-x+1 = 2$.
• При $x \ge 1$: $y = (x+1) + (x-1) = 2x$.

График функции состоит из трёх прямолинейных участков. Точки "стыка" этих участков, $x=-1$ и $x=1$, являются точками возможной недифференцируемости. Найдём односторонние производные в этих точках:

• В точке $x = -1$:
  • Производная слева (от функции $y=-2x$): $y' = -2$.
  • Производная справа (от функции $y=2$): $y' = 0$.
  Поскольку $-2 \neq 0$, функция недифференцируема в точке $x=-1$.
• В точке $x = 1$:
  • Производная слева (от функции $y=2$): $y' = 0$.
  • Производная справа (от функции $y=2x$): $y' = 2$.
  Поскольку $0 \neq 2$, функция недифференцируема в точке $x=1$.

Во всех остальных точках функция локально является линейной, а значит, дифференцируема. Таким образом, данная функция недифференцируема ровно в двух точках.

Ответ: Примером такой функции является $y = |x+1| + |x-1|$.

в) Рассмотрим функцию $y = ||x| - 1|$. Эта функция непрерывна на всей числовой прямой. Точки, в которых аргументы модулей обращаются в ноль, являются потенциальными точками недифференцируемости.

• Внутренний модуль $|x|$: аргумент равен нулю при $x=0$.
• Внешний модуль $||x|-1|$: аргумент равен нулю, когда $|x|-1 = 0$, то есть $|x|=1$, что даёт две точки $x=1$ и $x=-1$.

Исследуем на дифференцируемость в этих трёх точках: $x=-1$, $x=0$, $x=1$. Для этого запишем функцию в кусочно-заданном виде: $y(x) = \begin{cases} -(x+1), & \text{если } x < -1 \\ x+1, & \text{если } -1 \le x < 0 \\ 1-x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ x-1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Теперь найдём производные на каждом интервале: $y'(x) = \begin{cases} -1, & \text{если } x < -1 \\ 1, & \text{если } -1 < x < 0 \\ -1, & \text{если } 0 < x < 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Сравним односторонние производные в точках излома:

• В точке $x = -1$: производная слева равна -1, производная справа равна 1. Они не равны.
• В точке $x = 0$: производная слева равна 1, производная справа равна -1. Они не равны.
• В точке $x = 1$: производная слева равна -1, производная справа равна 1. Они не равны.

Следовательно, функция недифференцируема в точках $x=-1, 0, 1$. Во всех остальных точках она дифференцируема. График этой функции имеет характерную W-образную форму с тремя "углами".

Ответ: Примером такой функции является $y = ||x| - 1|$.