Номер 12, страница 358, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12. Как по графику функции сделать вывод о её дифференци-руемости?

Чтобы по графику функции $y = f(x)$ сделать вывод о её дифференцируемости в некоторой точке $x_0$, необходимо проанализировать поведение графика в окрестности этой точки.

Основной критерий связан с геометрическим смыслом производной. Производная функции $f'(x_0)$ в точке $x_0$ — это тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой $x_0$.

Отсюда следует правило: функция дифференцируема в точке $x_0$, если в этой точке к её графику можно провести единственную невертикальную касательную.

Визуально это означает, что в точке дифференцируемости график является "гладким", без резких изломов, разрывов или вертикального подъема.

Соответственно, функция не является дифференцируемой в точках, где её график имеет характерные особенности.

1. Точки разрыва

Фундаментальное свойство: если функция дифференцируема в точке, то она в ней непрерывна. Следовательно, если в точке $x_0$ график функции имеет разрыв (любого вида: "выколотая" точка, скачок), то в этой точке функция недифференцируема.

2. Точки излома (углы)

Это точки, в которых график функции резко меняет своё направление, образуя "угол" или "пик". В таких точках невозможно провести единственную касательную. Пределы отношения приращения функции к приращению аргумента слева и справа от точки $x_0$ существуют, но не равны друг другу. Это означает, что односторонние производные не совпадают: $f'_-(x_0) \neq f'_+(x_0)$.
Классический пример — функция $y = |x|$ в точке $x=0$. График имеет излом. Слева от нуля наклон касательной равен -1, а справа +1. В самой точке $x=0$ производная не существует.

3. Точки с вертикальной касательной

Это точки, где касательная к графику становится вертикальной, то есть параллельной оси OY. Угол наклона такой касательной равен $90^\circ$ или $-90^\circ$, а тангенс этого угла не определён (стремится к бесконечности). Следовательно, производная в такой точке не существует.
Пример — функция $y = \sqrt[3]{x}$ в точке $x=0$. Касательной к графику в этой точке является сама ось OY, то есть вертикальная прямая.

Ответ: Чтобы определить дифференцируемость функции по её графику, нужно проверить следующее:

• Функция дифференцируема в точке, если её график в этой точке и её малой окрестности — это гладкая непрерывная кривая, к которой можно провести ровно одну касательную, не параллельную оси OY.
• Функция недифференцируема в точке, если в этой точке график имеет:
  1. Разрыв (любого типа).
  2. Излом (угол, пик).
  3. Вертикальную касательную.