Номер 7, страница 357, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7. В чём состоит физический смысл производной?

6. Что называют производной функции y = f(x) в точке x = a?

Производной функции $y=f(x)$ в точке $x=a$ называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, при условии, что этот предел существует.

Рассмотрим функцию $y=f(x)$, которая определена в некоторой окрестности точки $a$. Дадим аргументу $x$ в этой точке приращение $\Delta x$ (небольшое изменение, может быть положительным или отрицательным). В результате значение функции также изменится на величину $\Delta y$, которая называется приращением функции.

Приращение аргумента: $\Delta x = x - a$.
Приращение функции: $\Delta y = f(x) - f(a) = f(a + \Delta x) - f(a)$.

Отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$ представляет собой среднюю скорость изменения функции на интервале от $a$ до $a+\Delta x$.

Производная функции в точке $a$, обозначаемая как $f'(a)$ или $\frac{dy}{dx}\big|_{x=a}$, — это предел этого отношения, когда приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю. Этот предел показывает мгновенную скорость изменения функции в точке $a$.

Таким образом, по определению:
$f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$

Ответ: Производной функции $y=f(x)$ в точке $x=a$ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, то есть $f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$.

7. В чём состоит физический смысл производной?

Физический (или механический) смысл производной заключается в том, что она характеризует скорость протекания процесса, описываемого функцией. Если некоторая функция $y=f(x)$ описывает физический процесс, то её производная $f'(x)$ — это скорость изменения этого процесса.

Самый классический пример — это прямолинейное движение материальной точки. Пусть закон движения точки задан функцией $s(t)$, где $s$ — это координата (пройденный путь) точки в момент времени $t$.

За промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$ точка переместится на расстояние $\Delta s = s(t+\Delta t) - s(t)$. Средняя скорость движения за этот промежуток времени вычисляется как:
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

Чтобы определить скорость движения не в среднем за какой-то отрезок времени, а точно в данный момент $t$ (мгновенную скорость), необходимо рассматривать всё меньшие и меньшие промежутки времени, то есть устремить $\Delta t$ к нулю. Мгновенная скорость $v(t)$ — это предел, к которому стремится средняя скорость:
$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Это выражение в точности является определением производной функции $s(t)$ по времени $t$. Следовательно, мгновенная скорость есть производная от пути по времени:
$v(t) = s'(t)$

Аналогично можно трактовать и другие физические величины:
- Ускорение — это скорость изменения скорости. Если скорость тела меняется по закону $v(t)$, то его мгновенное ускорение $a(t)$ есть производная от скорости по времени: $a(t) = v'(t)$.
- Сила тока — это скорость изменения заряда. Если количество заряда, протекшего через поперечное сечение проводника, меняется по закону $q(t)$, то сила тока $I(t)$ есть производная от заряда по времени: $I(t) = q'(t)$.
- Мощность — это скорость совершения работы. Если работа, совершаемая силой, изменяется по закону $A(t)$, то мощность $N(t)$ есть производная от работы по времени: $N(t) = A'(t)$.

Ответ: Физический смысл производной состоит в том, что производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ есть мгновенная скорость изменения величины $f$ относительно величины $x$. В частности, производная от координаты по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости по времени — мгновенное ускорение.