Номер 6, страница 357, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Что называют производной функции $y = f(x)$ в точке $x = a$?

Производной функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел, если он существует и конечен, обозначается как $f'(a)$.

Рассмотрим это определение более подробно.

1. Приращение аргумента. Мы изменяем значение аргумента $x$ от начального значения $a$ на некоторую малую величину $\Delta x$. Новое значение аргумента становится $a + \Delta x$. Величина $\Delta x$ и называется приращением аргумента.

2. Приращение функции. Это изменение значения функции, соответствующее изменению аргумента. Оно равно разности между новым значением функции $f(a + \Delta x)$ и первоначальным значением $f(a)$. Приращение функции обозначается как $\Delta y$ или $\Delta f(a)$:
$\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$.

3. Отношение приращений. Это отношение показывает среднюю скорость изменения функции на отрезке $[a, a + \Delta x]$:
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$.

4. Предел отношения. Производная — это мгновенная скорость изменения функции в точке $x=a$. Чтобы найти ее, мы устремляем приращение аргумента $\Delta x$ к нулю. Таким образом, производная функции $f(x)$ в точке $a$ определяется формулой:

$f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$

Также используется эквивалентная запись, где $x$ стремится к $a$:

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Геометрический смысл производной: Значение производной $f'(a)$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$. Уравнение этой касательной имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

Физический смысл производной: Если функция $s(t)$ описывает закон движения материальной точки (где $s$ — путь, $t$ — время), то производная $s'(t_0)$ представляет собой мгновенную скорость движения этой точки в момент времени $t_0$. В общем случае производная описывает скорость протекания какого-либо процесса.

Ответ: Производной функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ называется предел отношения приращения функции $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ к приращению аргумента $\Delta x$ при $\Delta x \to 0$, то есть $f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$.