Номер 3, страница 357, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Как определяют касательную к плоской кривой?

Касательная к плоской кривой в некоторой её точке $M_0$ определяется как предельное положение секущей прямой, проходящей через эту точку $M_0$ и другую точку $M$ на кривой, когда точка $M$ стремится к точке $M_0$ вдоль кривой.

Аналитическое определение и уравнение касательной зависят от способа задания кривой.

Касательная к кривой, заданной явным уравнением y = f(x)

Если плоская кривая задана как график функции $y = f(x)$, и эта функция дифференцируема в точке $x_0$, то в точке $M_0(x_0, y_0)$, где $y_0 = f(x_0)$, существует касательная.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$

Ответ: Для кривой $y = f(x)$ уравнение касательной в точке $(x_0, f(x_0))$ определяется формулой $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$, где $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$.

Касательная к кривой, заданной параметрически

Если кривая задана параметрическими уравнениями $x = x(t)$ и $y = y(t)$, и функции $x(t)$ и $y(t)$ дифференцируемы в точке $t_0$, а производные $x'(t_0)$ и $y'(t_0)$ не равны нулю одновременно, то касательная в точке $M_0(x(t_0), y(t_0))$ существует.

Направляющим вектором касательной является вектор производных $\vec{s} = (x'(t_0), y'(t_0))$.

Каноническое уравнение касательной в точке, соответствующей значению параметра $t_0$, имеет вид: $\frac{x - x(t_0)}{x'(t_0)} = \frac{y - y(t_0)}{y'(t_0)}$

Если $x'(t_0) \neq 0$, то угловой коэффициент касательной равен $k = \frac{dy}{dx} = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$. Если $x'(t_0) = 0$ (а $y'(t_0) \neq 0$), касательная вертикальна и ее уравнение $x = x(t_0)$. Если $y'(t_0) = 0$ (а $x'(t_0) \neq 0$), касательная горизонтальна и ее уравнение $y = y(t_0)$.

Ответ: Для кривой, заданной параметрически $x=x(t), y=y(t)$, уравнение касательной в точке, соответствующей параметру $t_0$, имеет вид $\frac{x - x(t_0)}{x'(t_0)} = \frac{y - y(t_0)}{y'(t_0)}$.

Касательная к кривой, заданной неявно

Если кривая задана неявным уравнением $F(x, y) = 0$, и в точке $M_0(x_0, y_0)$ на этой кривой существуют непрерывные частные производные $\frac{\partial F}{\partial x}$ и $\frac{\partial F}{\partial y}$, которые не обращаются в ноль одновременно (такая точка называется неособой), то касательная в этой точке существует.

Вектор градиента $\nabla F = \left(\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)\right)$ является вектором нормали (перпендикуляром) к кривой в точке $(x_0, y_0)$.

Так как касательная перпендикулярна вектору нормали, ее уравнение можно записать так: $\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot (x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot (y - y_0) = 0$

Ответ: Для кривой, заданной неявно $F(x, y) = 0$, уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ определяется формулой $\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot (x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot (y - y_0) = 0$.