Номер 4, страница 348, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Сформулируйте теорему об арифметических операциях над пределами функций на бесконечности.

Теорема об арифметических операциях над пределами функций на бесконечности формулируется следующим образом.

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют конечные пределы при $x$, стремящемся к бесконечности (то есть при $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$):
$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$
$\lim_{x \to \infty} g(x) = B$
где $A$ и $B$ — конечные действительные числа.

Тогда справедливы следующие утверждения:

Предел суммы

Предел суммы двух функций на бесконечности равен сумме их пределов.
$\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} g(x) = A + B$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) = A + B$.

Предел разности

Предел разности двух функций на бесконечности равен разности их пределов.
$\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) - \lim_{x \to \infty} g(x) = A - B$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x)) = A - B$.

Предел произведения

Предел произведения двух функций на бесконечности равен произведению их пределов.
$\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) \cdot \lim_{x \to \infty} g(x) = A \cdot B$
Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
$\lim_{x \to \infty} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to \infty} f(x) = c \cdot A$, где $c$ — любая константа.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x)) = A \cdot B$.

Предел частного

Предел частного двух функций на бесконечности равен частному их пределов, при условии, что предел функции в знаменателе не равен нулю.
$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} f(x)}{\lim_{x \to \infty} g(x)} = \frac{A}{B}$
Это правило справедливо только при условии, что $B \neq 0$.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$, при $B \neq 0$.