Номер 2, страница 348, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Начертите график какой-либо функции $y = f(x)$, для которой выполняются соотношения $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$, причём функция:

а) монотонна;

б) немонотонна.

а) монотонна

Для построения графика функции необходимо выполнить три условия:
1. Предел функции при $x \to -\infty$ равен 3: $\lim_{x\to -\infty} f(x) = 3$. Это означает, что график функции имеет горизонтальную асимптоту $y=3$ слева.
2. Предел функции при $x \to +\infty$ равен -2: $\lim_{x\to +\infty} f(x) = -2$. Это означает, что график функции имеет горизонтальную асимптоту $y=-2$ справа.
3. Функция является монотонной.

Поскольку значение функции должно измениться с 3 до -2 при возрастании $x$ от $-\infty$ до $+\infty$, монотонная функция, удовлетворяющая этим условиям, должна быть монотонно убывающей.

В качестве примера такой функции можно взять функцию, основанную на экспоненте, которая плавно переходит от одного уровня к другому. Подходящей функцией является, например, арктангенс или логистическая функция. Рассмотрим функцию вида $f(x) = \frac{A e^x + B}{C e^x + D}$. Подберем коэффициенты, чтобы удовлетворить условиям:
При $x \to +\infty$, $e^x \to +\infty$, и предел равен $A/C$. Таким образом, $A/C = -2$.
При $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, и предел равен $B/D$. Таким образом, $B/D = 3$.

Выберем для простоты $C=1$ и $D=1$. Тогда $A=-2$ и $B=3$. Получаем функцию:
$f(x) = \frac{-2e^x + 3}{e^x + 1}$

Проверим её на монотонность, найдя производную:
$f'(x) = \frac{(-2e^x)(e^x+1) - (-2e^x+3)(e^x)}{(e^x+1)^2} = \frac{-2e^{2x} - 2e^x + 2e^{2x} - 3e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{-5e^x}{(e^x+1)^2}$

Поскольку $e^x > 0$ для любого $x$, числитель $-5e^x$ всегда отрицателен, а знаменатель $(e^x+1)^2$ всегда положителен. Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x$, и функция является монотонно убывающей на всей числовой оси.

Описание графика:
График представляет собой плавную кривую. На левой стороне ($x \to -\infty$) он приближается сверху к горизонтальной асимптоте $y=3$. С ростом $x$ график пересекает ось $y$ в точке $(0, f(0)) = (0, \frac{-2+3}{1+1}) = (0, 0.5)$. Затем он пересекает ось $x$ в точке, где $f(x)=0$, то есть $-2e^x+3=0$, откуда $e^x = 1.5$ и $x = \ln(1.5) \approx 0.4$. Продолжая убывать, на правой стороне ($x \to +\infty$) график приближается сверху к горизонтальной асимптоте $y=-2$.

Ответ: В качестве примера можно привести функцию $f(x) = \frac{3 - 2e^x}{1 + e^x}$. Её график — это плавная кривая, которая монотонно убывает, имея горизонтальные асимптоты $y=3$ при $x \to -\infty$ и $y=-2$ при $x \to +\infty$.

б) немонотонна

Здесь условия на пределы функции остаются теми же, но функция должна быть немонотонной. Это означает, что на её области определения должны быть участки как возрастания, так и убывания. Следовательно, функция должна иметь хотя бы один локальный экстремум (минимум или максимум).

Чтобы построить такую функцию, можно взять за основу монотонную функцию из пункта а) и добавить к ней другую функцию, которая создаёт "колебание" или "горб", но при этом стремится к нулю при $x \to \pm\infty$, чтобы не изменять асимптотическое поведение.

Возьмём базовую монотонную функцию $g(x) = \frac{3 - 2e^x}{1 + e^x}$ и добавим к ней функцию-"горб", например, вида $h(x) = A \cdot x \cdot e^{-Bx^2}$. Эта функция нечетная, имеет локальный максимум и минимум, и $\lim_{x\to \pm\infty} h(x) = 0$.

Рассмотрим функцию:
$f(x) = \frac{3 - 2e^x}{1 + e^x} + \frac{5x}{e^{x^2}}$

Поскольку $\lim_{x\to \pm\infty} \frac{5x}{e^{x^2}} = 0$ (что легко проверить по правилу Лопиталя), пределы функции $f(x)$ на бесконечности будут такими же, как у $g(x)$:
$\lim_{x\to -\infty} f(x) = 3 + 0 = 3$
$\lim_{x\to +\infty} f(x) = -2 + 0 = -2$

Однако добавочный член $\frac{5x}{e^{x^2}}$ вносит в поведение функции немонотонность. У него есть локальный максимум и локальный минимум в окрестности нуля, что нарушает общую монотонность функции $f(x)$.

Описание графика:
График также имеет горизонтальные асимптоты $y=3$ слева и $y=-2$ справа. Однако кривая не является гладко убывающей. Приходя слева от асимптоты $y=3$, функция убывает, но затем, в окрестности нуля, её поведение усложняется. Она может, например, сначала убывать до локального минимума (значение которого может быть меньше -2), затем возрастать до локального максимума, и только после этого снова начать убывать, стремясь к асимптоте $y=-2$ справа. Например, график может начаться около $y=3$, опуститься до точки $(-1, -3)$, подняться до точки $(1, 1)$, а затем устремиться к $y=-2$. Наличие участков убывания и возрастания делает функцию немонотонной.

Ответ: В качестве примера можно привести функцию $f(x) = \frac{3 - 2e^x}{1 + e^x} + \frac{5x}{e^{x^2}}$. Её график имеет асимптоты $y=3$ (при $x \to -\infty$) и $y=-2$ (при $x \to +\infty$), но при этом не является монотонным, имея локальные минимум и максимум в центральной части.