Номер 12, страница 338, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12. Что называют суммой бесконечной геометрической прогрессии? В каких случаях эта сумма существует, а в каких — нет? Если сумма существует, то по какой формуле её можно вычислить?

Что называют суммой бесконечной геометрической прогрессии?

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию $(b_n)$, которая представляет собой последовательность чисел $b_1, b_2, b_3, \dots$, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число $q$, называемое знаменателем прогрессии ($b_{n+1} = b_n \cdot q$).

Сумма первых $n$ членов такой прогрессии, называемая частичной суммой $S_n$, вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ (при $q \neq 1$).

Суммой бесконечной геометрической прогрессии называется предел (конечное число), к которому стремится последовательность её частичных сумм $S_n$ при неограниченном увеличении числа членов $n$ (т.е. при $n \to \infty$). Если такой предел существует, его обозначают буквой $S$. Математически это записывается как $S = \lim_{n \to \infty} S_n$.

Ответ: Суммой бесконечной геометрической прогрессии называется предел последовательности её частичных сумм при стремлении числа членов к бесконечности.

В каких случаях эта сумма существует, а в каких — нет?

Существование конечной суммы у бесконечной геометрической прогрессии полностью зависит от значения её знаменателя $q$.

Сумма существует только в том случае, когда модуль знаменателя строго меньше единицы: $|q| < 1$. Такие прогрессии называются бесконечно убывающими. В этом случае, чем больше членов мы суммируем, тем ближе их сумма подходит к некоторому конечному числу.

Сумма не существует (в этом случае говорят, что ряд расходится), если модуль знаменателя больше или равен единице: $|q| \ge 1$. При $q \ge 1$ (и $b_1 \neq 0$) сумма неограниченно растет и стремится к бесконечности. При $q \le -1$ последовательность частичных сумм не стремится к какому-либо одному числу, а либо колеблется (как при $q=-1$), либо неограниченно возрастает по модулю, меняя знак.

Ответ: Сумма существует, если модуль знаменателя прогрессии $|q| < 1$. Сумма не существует, если $|q| \ge 1$.

Если сумма существует, то по какой формуле её можно вычислить?

Если сумма существует, то есть выполняется условие $|q| < 1$, для её вычисления используется специальная формула. Она получается из формулы для частичной суммы $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ путём нахождения её предела при $n \to \infty$. Так как при $|q| < 1$ величина $q^n$ стремится к нулю ($\lim_{n \to \infty} q^n = 0$), мы получаем:

$S = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$

Формула для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Здесь $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Ответ: Если сумма существует (т.е. при $|q|<1$), она вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.