Номер 5, страница 348, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке.

Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке. Все они описывают одно и то же свойство: малое изменение аргумента функции приводит к малому изменению ее значения.

Определение через предел (по Гейне)

Это наиболее часто используемое определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку $x_0$) и предел функции при $x$, стремящемся к $x_0$, равен значению функции в этой точке.

Это можно записать одним равенством:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Данное равенство подразумевает выполнение трёх условий:
1. Функция определена в точке $x_0$, то есть $f(x_0)$ существует.
2. Существует конечный предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
3. Этот предел равен значению функции в точке $x_0$.

Ответ: Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если предел функции в этой точке равен ее значению в этой же точке.

Определение на языке $\varepsilon-\delta$ (по Коши)

Это строгое, формальное определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$ (эпсилон) найдётся такое положительное число $\delta$ (дельта), что для всех аргументов $x$, отстоящих от $x_0$ на расстояние меньше, чем $\delta$, соответствующие значения функции $f(x)$ будут отстоять от $f(x_0)$ на расстояние меньше, чем $\varepsilon$.

На языке математических символов это записывается так:

$\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0 \ \forall x \in D(f): \ |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$

Геометрически это означает, что для любой горизонтальной полосы шириной $2\varepsilon$, с центром на линии $y=f(x_0)$, мы можем найти такую вертикальную полосу шириной $2\delta$ с центром на линии $x=x_0$, что часть графика функции, попавшая в вертикальную полосу, целиком лежит и в горизонтальной.

Ответ: Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если для любого $\varepsilon > 0$ можно подобрать такое $\delta > 0$, что из неравенства $|x - x_0| < \delta$ следует неравенство $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$.

Определение через приращения

Введем понятия приращения аргумента $\Delta x = x - x_0$ и соответствующего ему приращения функции $\Delta y = f(x) - f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Математически это означает, что предел приращения функции равен нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0 \quad \text{или} \quad \lim_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) = 0$

Это определение полностью эквивалентно первому: если перенести $f(x_0)$ в правую часть и учесть, что при $\Delta x \to 0$ переменная $x = x_0 + \Delta x$ стремится к $x_0$, мы получим $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Ответ: Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если ее приращение $\Delta y$ в этой точке стремится к нулю, когда приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю.