Номер 11, страница 338, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11. Дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, b_3, ..., b_n, ...$. Запишите формулу для вычисления $S_n$, где $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n$.

Сумма $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3, \dots$ определяется как $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$. Для вывода общей формулы необходимо знать первый член прогрессии $b_1$ и её знаменатель $q$.

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, может быть выражен через первый член и знаменатель по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Тогда сумму можно записать в следующем виде: $S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$.

Чтобы получить формулу для $S_n$, умножим это равенство на $q$: $S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$.

Теперь вычтем из второго равенства первое: $S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$.

После сокращения большинства членов в правой части, получим: $S_n(q - 1) = b_1q^n - b_1$, или $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.

Дальнейшее решение зависит от значения знаменателя $q$.

1. Если знаменатель прогрессии $q \neq 1$

В этом случае можно разделить обе части последнего равенства на $(q-1)$, чтобы выразить $S_n$: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Эту формулу также можно представить в эквивалентном виде, который бывает удобен при вычислениях, если $|q| < 1$: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

2. Если знаменатель прогрессии $q = 1$

В этом случае деление на $(q-1)$ невозможно, так как это будет деление на ноль. Если $q=1$, то все члены прогрессии равны первому члену: $b_1 = b_2 = \dots = b_n$. Сумма $S_n$ в этом случае равна сумме $n$ одинаковых слагаемых $b_1$: $S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot b_1$.

Ответ: Формула для вычисления суммы $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии зависит от ее знаменателя $q$.

Если $q \neq 1$, то сумма вычисляется по формуле: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Если $q = 1$, то сумма вычисляется по формуле: $S_n = n \cdot b_1$.