gdz.top
Номер 6, страница 338, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов
Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 7. Производная. Параграф 38. Предел числовой последовательности - номер 6, страница 338.
№5
№6 (с. 338)
Условие. №6 (с. 338)
6. Приведите, если это возможно, пример сходящейся последовательности, которая не является ограниченной.
Решение 1. №6 (с. 338)
Решение 3. №6 (с. 338)
Привести пример сходящейся последовательности, которая не является ограниченной, невозможно. Это следует из фундаментальной теоремы математического анализа, которая гласит, что любая сходящаяся последовательность является ограниченной. Докажем это утверждение.
Доказательство. Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится к некоторому пределу $L$. По определению сходимости последовательности, это означает, что для любого положительного числа $\epsilon > 0$ найдется такой натуральный номер $N$, что для всех номеров $n > N$ будет выполняться неравенство:
$$|x_n - L| < \epsilon$$Выберем конкретное значение для $\epsilon$, например, $\epsilon = 1$. Тогда существует такой номер $N$, что для всех $n > N$ выполняется:
$$|x_n - L| < 1$$Используя свойство модуля (неравенство треугольника $|a+b| \le |a| + |b|$), мы можем оценить $|x_n|$:
$$|x_n| = |(x_n - L) + L| \le |x_n - L| + |L|$$Поскольку для $n > N$ мы имеем $|x_n - L| < 1$, то для этих же $n$ справедливо:
$$|x_n| < 1 + |L|$$Это означает, что все члены последовательности, начиная с $(N+1)$-го, ограничены по модулю числом $1 + |L|$.
Теперь рассмотрим первые $N$ членов последовательности: $x_1, x_2, \dots, x_N$. Это конечное множество чисел, и любое конечное множество действительных чисел является ограниченным. Обозначим $M_0$ как максимальное значение модуля среди этих членов:
$$M_0 = \max\{|x_1|, |x_2|, \dots, |x_N|\}$$Теперь мы можем найти число, которое ограничивает все члены последовательности. Возьмем в качестве такого числа $M$ максимум из двух найденных нами границ:
$$M = \max\{M_0, 1 + |L|\}$$Тогда для любого натурального $n$ будет выполняться неравенство $|x_n| \le M$. Действительно, если $1 \le n \le N$, то $|x_n| \le M_0 \le M$. Если же $n > N$, то $|x_n| < 1 + |L| \le M$. Таким образом, мы показали, что существует такое число $M > 0$, что для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется $|x_n| \le M$.
Это по определению означает, что последовательность $\{x_n\}$ является ограниченной. Следовательно, любая сходящаяся последовательность всегда ограничена, и привести пример сходящейся, но неограниченной последовательности невозможно.
Ответ: Привести такой пример невозможно, так как любая сходящаяся последовательность является ограниченной.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 338 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 338), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 1-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.