Номер 6, страница 327, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. При каких значениях основания $a$ последовательность $y_n = a^n$:

а) убывает;

б) возрастает;

в) стационарна;

г) немонотонна?

Для определения характера монотонности последовательности $y_n = a^n$ необходимо проанализировать, как соотносятся соседние члены $y_{n+1}$ и $y_n$ в зависимости от значения основания $a$. Характер последовательности (возрастание, убывание, стационарность) определяется знаком разности $y_{n+1} - y_n = a^{n+1} - a^n = a^n(a-1)$.

а) убывает

Последовательность является убывающей, если для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} < y_n$. Это эквивалентно неравенству $a^n(a - 1) < 0$.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если $a > 0$, то $a^n$ всегда положительно. Для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $(a - 1)$ был отрицательным:$a - 1 < 0 \implies a < 1$.С учетом условия $a > 0$, получаем, что последовательность убывает при $0 < a < 1$.

2. Если $a < 0$, то знак $a^n$ чередуется в зависимости от четности $n$.При $n=1$, $a^1 < 0$. Неравенство $a(a-1) < 0$ не выполняется, так как $a < 0$ и $a-1 < 0$, следовательно, их произведение положительно. Значит, при $a < 0$ последовательность не является убывающей.

3. Если $a=0$, последовательность стационарна ($0, 0, 0, \ldots$), а не строго убывающая.

Ответ: $0 < a < 1$.

б) возрастает

Последовательность является возрастающей, если для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} > y_n$. Это эквивалентно неравенству $a^n(a - 1) > 0$.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если $a > 0$, то $a^n > 0$. Для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $(a - 1)$ был положительным:$a - 1 > 0 \implies a > 1$.

2. Если $a < 0$, то знак $a^n$ чередуется.При $n=2$, $a^2 > 0$. Неравенство $a^2(a-1) > 0$ требует, чтобы $a-1 > 0$, то есть $a > 1$, что противоречит условию $a < 0$. Значит, при $a < 0$ последовательность не является возрастающей.

Ответ: $a > 1$.

в) стационарна

Последовательность является стационарной, если для любого натурального $n$ выполняется равенство $y_{n+1} = y_n$, то есть все ее члены равны. Это эквивалентно уравнению $a^n(a - 1) = 0$.

Это равенство должно выполняться для всех $n \ge 1$. В частности, для $n=1$ получаем:$a(a - 1) = 0$.Отсюда $a = 0$ или $a = 1$.

Проверим оба значения:

• При $a = 1$ последовательность $y_n = 1^n = 1$ для всех $n$. Она стационарна.
• При $a = 0$ последовательность $y_n = 0^n = 0$ для всех $n \ge 1$. Она также стационарна.

Ответ: $a=0$ или $a=1$.

г) немонотонна

Последовательность является немонотонной, если она не является ни возрастающей, ни убывающей, ни стационарной. Из анализа предыдущих пунктов следует, что при $a \ge 0$ последовательность всегда монотонна (возрастает, убывает или стационарна).

Рассмотрим оставшийся случай: $a < 0$.

В этом случае знаки членов последовательности $y_n = a^n$ чередуются:

$y_1 = a$ (отрицательный)

$y_2 = a^2$ (положительный)

$y_3 = a^3$ (отрицательный)

и так далее.

Сравним первые три члена: $y_1 < y_2$ (так как отрицательное число меньше положительного), но $y_2 > y_3$ (так как положительное число больше отрицательного). Поскольку последовательность на одном шаге возрастает, а на другом убывает, она не является монотонной. Это справедливо для любого $a < 0$.

Ответ: $a < 0$.