Номер 1, страница 337, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что называют пределом числовой последовательности?

1.

Предел числовой последовательности — это одно из фундаментальных понятий математического анализа. Интуитивно, предел последовательности — это число, к которому члены последовательности неограниченно приближаются с ростом их номера.

Существует строгое формальное определение предела, известное как определение Коши или определение на языке "эпсилон-дельта" (в данном случае "эпсилон-N").

Определение: Число $A$ называется пределом числовой последовательности $\{x_n\}$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$ (эпсилон) найдётся такое натуральное число $N$ (зависящее от $\varepsilon$), что для всех членов последовательности с номерами $n$, большими чем $N$, выполняется неравенство: $|x_n - A| < \varepsilon$.

Записывается это так: $\lim_{n \to \infty} x_n = A$ или $x_n \to A$ при $n \to \infty$.

Разберем определение подробнее:

• Для любого $\varepsilon > 0$: Это означает, что мы можем выбрать абсолютно любое, сколь угодно маленькое положительное число. Это число $\varepsilon$ задает "коридор точности" или окрестность вокруг предела $A$.
• Найдётся такое натуральное число $N$: Это означает, что мы можем указать конкретный номер в последовательности.
• Для всех $n > N$ выполняется $|x_n - A| < \varepsilon$: Это ключевая часть. Она говорит, что все члены последовательности, начиная с номера $N+1$ и до бесконечности, будут находиться от числа $A$ на расстоянии, меньшем чем $\varepsilon$.

Геометрическая интерпретация: Неравенство $|x_n - A| < \varepsilon$ равносильно двойному неравенству $A - \varepsilon < x_n < A + \varepsilon$. Это означает, что член последовательности $x_n$ лежит в интервале $(A - \varepsilon, A + \varepsilon)$, который называется $\varepsilon$-окрестностью точки $A$.

Таким образом, определение предела означает, что какую бы узкую $\varepsilon$-окрестность точки $A$ мы ни взяли, всегда можно найти такой номер $N$, что все последующие члены последовательности окажутся внутри этой окрестности. Вне этой окрестности может находиться лишь конечное число членов последовательности (с номерами от 1 до $N$).

На языке кванторов определение записывается так: $A = \lim_{n \to \infty} x_n \iff \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n > N : |x_n - A| < \varepsilon$.

Ответ: Число $A$ называют пределом числовой последовательности $\{x_n\}$, если для любого положительного числа $\varepsilon > 0$ существует такое натуральное число $N$, что для всех номеров $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - A| < \varepsilon$.