Номер 5, страница 327, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Приведите пример числовой последовательности, которая:

а) убывает;

б) возрастает;

в) не является монотонной.

а) убывает;

Числовая последовательность называется убывающей, если каждый её следующий член меньше предыдущего. Математически это записывается как $a_{n+1} < a_n$ для любого натурального $n$.

Приведем пример такой последовательности. Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = \frac{1}{n}$.

Её первые члены: $a_1 = \frac{1}{1} = 1$, $a_2 = \frac{1}{2}$, $a_3 = \frac{1}{3}$, $a_4 = \frac{1}{4}$ и так далее.

Таким образом, последовательность имеет вид: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

Проверим, выполняется ли условие убывания. Сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности: $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$ и $a_n = \frac{1}{n}$. Поскольку для любого натурального $n$ верно неравенство $n+1 > n$, то при переходе к обратным величинам знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Следовательно, $a_{n+1} < a_n$, и данная последовательность является убывающей.

Ответ: Последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n}$, является убывающей. Например: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$

б) возрастает;

Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый её следующий член больше предыдущего. Математически это записывается как $b_{n+1} > b_n$ для любого натурального $n$.

В качестве примера рассмотрим последовательность натуральных чисел, заданную формулой общего члена $b_n = n$.

Её первые члены: $b_1 = 1$, $b_2 = 2$, $b_3 = 3$, $b_4 = 4$ и так далее.

Таким образом, последовательность имеет вид: $1, 2, 3, 4, \dots$

Проверим, выполняется ли условие возрастания. Сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены: $b_{n+1} = n+1$ и $b_n = n$. Очевидно, что для любого натурального $n$ верно неравенство $n+1 > n$. Следовательно, $b_{n+1} > b_n$, и данная последовательность является возрастающей.

Ответ: Последовательность, заданная формулой $b_n = n$, является возрастающей. Например: $1, 2, 3, \dots$

в) не является монотонной.

Монотонной называется последовательность, которая является либо возрастающей, либо убывающей (а также неубывающей или невозрастающей). Соответственно, немонотонная последовательность — это такая последовательность, которая не является ни возрастающей, ни убывающей. Это означает, что в последовательности существуют такие пары соседних членов, что $a_{k+1} > a_k$ для некоторого $k$, и $a_{m+1} < a_m$ для некоторого $m$.

Приведем пример такой последовательности. Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $c_n = (-1)^n$.

Её первые члены: $c_1 = (-1)^1 = -1$, $c_2 = (-1)^2 = 1$, $c_3 = (-1)^3 = -1$, $c_4 = (-1)^4 = 1$ и так далее.

Таким образом, последовательность имеет вид: $-1, 1, -1, 1, -1, 1, \dots$

Проверим её на монотонность. Сравним первые два члена: $c_2 = 1$ и $c_1 = -1$. Так как $1 > -1$, то $c_2 > c_1$. Это значит, что последовательность не может быть убывающей. Сравним второй и третий члены: $c_3 = -1$ и $c_2 = 1$. Так как $-1 < 1$, то $c_3 < c_2$. Это значит, что последовательность не может быть возрастающей. Поскольку последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей, она не является монотонной.

Ответ: Последовательность, заданная формулой $c_n = (-1)^n$, не является монотонной. Например: $-1, 1, -1, 1, \dots$