Номер 2, страница 337, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. В каком случае говорят, что числовая последовательность сходится, а в каком — расходится?

Случай, когда последовательность сходится

Говорят, что числовая последовательность $\{x_n\}$ сходится, если существует такое конечное число $A$, к которому члены последовательности неограниченно приближаются с ростом их номера $n$. Это число $A$ называется пределом последовательности.

Более строго (на языке «эпсилон-дельта»): число $A$ является пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - A| < \varepsilon$.

Это означает, что, какую бы малую окрестность точки $A$ мы ни взяли, все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадут в эту окрестность и останутся в ней. Наличие конечного предела записывают так: $\lim_{n \to \infty} x_n = A$.

Пример: Последовательность $x_n = \frac{1}{n}$ (ее члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots$) сходится к нулю, так как ее члены становятся все ближе и ближе к 0. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$. Число 0 — это конечный предел.

Ответ: Говорят, что числовая последовательность сходится, если она имеет конечный предел.

Случай, когда последовательность расходится

Говорят, что числовая последовательность расходится, если она не сходится. Это означает, что последовательность не имеет конечного предела. Существует несколько вариантов расходимости:

1. Последовательность стремится к бесконечности. Члены последовательности неограниченно возрастают (стремятся к $+\infty$) или неограниченно убывают (стремятся к $-\infty$). Хотя в этом случае иногда говорят, что предел существует и равен бесконечности, такая последовательность все равно считается расходящейся, так как ее предел не является конечным числом.

   Пример: Последовательность $x_n = n^2$ ($1, 4, 9, 16, \ldots$) расходится, так как $\lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty$.

2. Последовательность не имеет предела. Члены последовательности не стремятся ни к какому конкретному значению (ни к конечному, ни к бесконечному). Они могут, например, колебаться.

   Пример: Последовательность $x_n = (-1)^n$ (ее члены: $-1, 1, -1, 1, \ldots$) расходится. Ее члены "прыгают" между двумя значениями и не приближаются ни к какой одной точке. У этой последовательности нет предела.

Ответ: Говорят, что числовая последовательность расходится, если она не имеет конечного предела (т.е. либо предел равен бесконечности, либо предела не существует).