Номер 9, страница 338, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Сформулируйте теорему об арифметических операциях над пределами числовых последовательностей.

Теорема об арифметических операциях над пределами сходящихся последовательностей устанавливает правила для нахождения пределов суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей, имеющих конечные пределы.

Формулировка теоремы:
Пусть даны две числовые последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, которые сходятся к конечным пределам:
$ \lim_{n \to \infty} x_n = A $
$ \lim_{n \to \infty} y_n = B $
где $ A $ и $ B $ — действительные числа ($A, B \in \mathbb{R}$).

Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Предел суммы и разности

Последовательность $\{x_n \pm y_n\}$ также сходится, и ее предел равен сумме (разности) пределов исходных последовательностей:
$ \lim_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \pm \lim_{n \to \infty} y_n = A \pm B $

2. Предел произведения

Последовательность $\{x_n \cdot y_n\}$ также сходится, и ее предел равен произведению пределов исходных последовательностей:
$ \lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = (\lim_{n \to \infty} x_n) \cdot (\lim_{n \to \infty} y_n) = A \cdot B $

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Если $c \in \mathbb{R}$ — константа, то:
$ \lim_{n \to \infty} (c \cdot x_n) = c \cdot \lim_{n \to \infty} x_n = c \cdot A $

3. Предел частного

Если предел последовательности-знаменателя не равен нулю ($B \neq 0$), то последовательность частного $\{\frac{x_n}{y_n}\}$ также сходится, и ее предел равен частному пределов исходных последовательностей:
$ \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} x_n}{\lim_{n \to \infty} y_n} = \frac{A}{B} $
Условие $B \neq 0$ гарантирует, что начиная с некоторого номера $N$, все члены $y_n$ не равны нулю ($y_n \neq 0$ для всех $n \ge N$), поэтому деление на $y_n$ для $n \ge N$ корректно.

Ответ:
Теорема об арифметических операциях над пределами числовых последовательностей утверждает, что если последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ сходятся к конечным пределам $A$ и $B$ соответственно, то:
1) Предел их суммы (разности) равен сумме (разности) их пределов: $ \lim_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = A \pm B $.
2) Предел их произведения равен произведению их пределов: $ \lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = A \cdot B $.
3) Предел их частного равен частному их пределов: $ \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{A}{B} $, при условии, что предел знаменателя не равен нулю ($B \neq 0$).