Номер 8, страница 338, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Сформулируйте теорему Вейерштрасса.

Имя Карла Вейерштрасса носит несколько фундаментальных теорем математического анализа. Как правило, в курсе математического анализа под «теоремой Вейерштрасса» понимают одну из следующих теорем о свойствах непрерывных функций, заданных на замкнутом промежутке (отрезке).

Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)

Эта теорема утверждает, что если функция непрерывна на замкнутом отрезке, то она обязательно будет ограниченной на этом отрезке. То есть её значения не могут уходить в бесконечность.

Формулировка:

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она ограничена на этом отрезке, то есть существует такое число $M > 0$, что для любого $x \in [a, b]$ выполняется неравенство $|f(x)| \le M$.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке.

Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении экстремумов)

Эта теорема является усилением первой и утверждает, что непрерывная на отрезке функция не просто ограничена, но и достигает своих точных границ — максимального и минимального значений.

Формулировка:

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений. То есть существуют точки $c_1, c_2 \in [a, b]$ такие, что $f(c_1) = \max_{x \in [a, b]} f(x)$ и $f(c_2) = \min_{x \in [a, b]} f(x)$.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений.

В более общем виде эти две теоремы формулируются для непрерывных функций, определенных на компактах, и являются фундаментальными свойствами таких функций.

Помимо этих двух, существуют и другие важные теоремы, носящие имя Вейерштрасса, которые часто встречаются в разных разделах анализа.

Теорема Больцано — Вейерштрасса (о предельной точке)

Эта теорема является ключевой в анализе и топологии и касается свойств ограниченных последовательностей.

Формулировка:

Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. В более общей формулировке: любое бесконечное ограниченное подмножество евклидова пространства $\mathbb{R}^n$ имеет хотя бы одну предельную точку.

Ответ: Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Признак Вейерштрасса (о равномерной сходимости функциональных рядов)

Это мощный инструмент для доказательства равномерной сходимости рядов, состоящих из функций.

Формулировка:

Пусть дан функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$, определенный на множестве $X$. Если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ такой, что для всех $n$, начиная с некоторого, и для всех $x \in X$ выполняется неравенство $|u_n(x)| \le a_n$, то функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ сходится на множестве $X$ равномерно (и абсолютно).

Ответ: Если члены функционального ряда $\sum u_n(x)$ на множестве $X$ можно по модулю ограничить соответствующими членами сходящегося положительного числового ряда $\sum a_n$ (мажорантного ряда), то функциональный ряд сходится на $X$ равномерно.