Номер 4, страница 338, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Даны утверждения A и B.

A. Числовая последовательность сходится.

B. Числовая последовательность является ограниченной.

Какое из соотношений является верным:

а) $A \Rightarrow B$;

б) $B \Rightarrow A$;

в) $A \Leftrightarrow B$?

Для решения данной задачи необходимо проанализировать логическую связь между двумя утверждениями из математического анализа.

Утверждение A: Числовая последовательность сходится.

Утверждение B: Числовая последовательность является ограниченной.

Проверим каждое из предложенных соотношений.

а) A ? B

Это соотношение означает "Если последовательность сходится, то она ограничена". Данное утверждение является фундаментальной теоремой в теории последовательностей. Докажем его.

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится к пределу $L$. По определению предела последовательности, для любого положительного числа $\epsilon$ существует такой натуральный номер $N$, что для всех номеров $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - L| < \epsilon$.

Выберем конкретное значение $\epsilon$, например $\epsilon = 1$. Тогда найдется номер $N$, такой что для всех $n > N$ будет верно $|x_n - L| < 1$.

Из свойства модуля $|a| - |b| \le |a - b|$ следует, что $|x_n| - |L| \le |x_n - L|$. Поэтому для $n > N$ мы имеем $|x_n| - |L| < 1$, или $|x_n| < |L| + 1$.

Это неравенство дает нам оценку для всех членов последовательности, начиная с $(N+1)$-го. Первые же $N$ членов ($x_1, x_2, \dots, x_N$) образуют конечное множество, которое всегда ограничено.

Чтобы найти общую границу для всех членов последовательности, выберем число $M$ как максимум из модулей первых $N$ членов и величины $|L| + 1$: $M = \max\{|x_1|, |x_2|, \dots, |x_N|, |L| + 1\}$.

Тогда для любого натурального $n$ будет справедливо неравенство $|x_n| \le M$. Это по определению означает, что последовательность $\{x_n\}$ ограничена.

Таким образом, импликация A ? B верна.

Ответ: Соотношение A ? B является верным.

б) B ? A

Это соотношение означает "Если последовательность ограничена, то она сходится". Это утверждение неверно. Чтобы это показать, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим последовательность $x_n = (-1)^n$. Ее члены: -1, 1, -1, 1, ...

Эта последовательность ограничена, так как для любого $n$ выполняется $|x_n| = |(-1)^n| = 1$, то есть все члены последовательности лежат в отрезке [-1, 1].

Однако эта последовательность не сходится. У нее есть две подпоследовательности: одна, состоящая из нечетных членов, сходится к -1, а вторая, из четных членов, сходится к 1. Поскольку не все подпоследовательности сходятся к одному и тому же пределу, сама последовательность расходится.

Мы привели пример ограниченной, но расходящейся последовательности, следовательно, импликация B ? A неверна.

Ответ: Соотношение B ? A является неверным.

в) A ? B

Эквивалентность A ? B (читается как "A тогда и только тогда, когда B") верна, если верны обе импликации: A ? B и B ? A.

Как показано в пункте а), импликация A ? B верна.

Как показано в пункте б), импликация B ? A неверна.

Поскольку одна из импликаций ложна, эквивалентность в целом также является ложной.

Ответ: Соотношение A ? B является неверным.

Итог: Единственным верным соотношением из предложенных является а) A ? B.