Номер 1, страница 327, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что называют числовой последовательностью?

1. Числовой последовательностью называют функцию, заданную на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$, или, говоря проще, занумерованный ряд чисел, где каждому натуральному числу $n$ (номеру или индексу) поставлено в соответствие некоторое действительное число $a_n$.

Элементы, из которых состоит последовательность, называются её членами. Число $n$ — это номер члена последовательности, а $a_n$ — это $n$-й член последовательности. Саму последовательность принято обозначать в виде $(a_n)$ или $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$.

Например, последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ представляет собой бесконечный упорядоченный набор чисел. Первым членом является $a_1$, вторым — $a_2$, и так далее.

Существует несколько способов задания числовой последовательности:

Аналитический способ. Последовательность задаётся формулой её $n$-го члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру $n$.
Пример: Последовательность чётных положительных чисел можно задать формулой $a_n = 2n$. Используя эту формулу, мы можем найти любой член: $a_1 = 2 \cdot 1 = 2$, $a_2 = 2 \cdot 2 = 4$, $a_5 = 2 \cdot 5 = 10$, и так далее. Последовательность выглядит так: 2, 4, 6, 8, ...

Рекуррентный способ. Указывается один или несколько первых членов последовательности и формула, позволяющая найти любой следующий член через предыдущие. Слово "рекуррентный" происходит от латинского "recurrere" — возвращаться.
Пример: Арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 5$ и разностью $d = 3$ задаётся рекуррентно: $a_1 = 5$, $a_{n+1} = a_n + 3$. Её члены: 5, 8, 11, 14, ... Другой известный пример — последовательность Фибоначчи: $f_1 = 1$, $f_2 = 1$, $f_{n+2} = f_{n+1} + f_n$. Её члены: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Словесный (описательный) способ. Правило, по которому составляется последовательность, описывается словами.
Пример: "Последовательность простых чисел". Первые члены этой последовательности: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Для этой последовательности не существует простой аналитической или рекуррентной формулы.

Последовательности могут быть конечными (если множество номеров $n$ конечно) и бесконечными. Также они классифицируются как возрастающие, убывающие, монотонные, ограниченные и т.д.

Ответ: Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, в котором каждому натуральному числу (номеру) $n$ сопоставлено определённое число $a_n$, называемое $n$-м членом последовательности. Формально, это числовая функция, определённая на множестве натуральных чисел.