Номер 4, страница 292, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Изобразите на координатной плоскости множество всех $z \in C$, у которых $|z|=2$, $\arg z \le 0$.

Для решения задачи необходимо найти и изобразить на комплексной плоскости множество всех комплексных чисел $z$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $|z| = 2$ и $\arg z \le 0$.

Анализ условия $|z| = 2$

Модуль комплексного числа $z = x + iy$ определяется как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Условие $|z| = 2$ можно переписать в виде $\sqrt{x^2 + y^2} = 2$, или, возведя обе части в квадрат, $x^2 + y^2 = 4$. На комплексной плоскости, где по горизонтальной оси откладывается действительная часть $x = \operatorname{Re}(z)$, а по вертикальной — мнимая часть $y = \operatorname{Im}(z)$, это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=2$.

Анализ условия $\arg z \le 0$

Аргумент комплексного числа $z$, обозначаемый $\arg z$, — это угол, который образует вектор из начала координат в точку $z$ с положительным направлением действительной оси. По стандартному соглашению, главное значение аргумента $\operatorname{Arg} z$ выбирается из интервала $(-\pi, \pi]$.

Условие $\arg z \le 0$ означает, что главный аргумент числа должен быть неположительным, то есть $\operatorname{Arg} z \in (-\pi, 0]$. Эта область включает в себя:

1. Точки в четвертом и третьем квадрантах, где мнимая часть отрицательна ($y<0$). Для этих точек аргумент находится в интервале $(-\pi, 0)$.

2. Точки на положительной действительной полуоси, где $y=0$ и $x > 0$. Для этих точек аргумент равен $0$, что удовлетворяет условию $\arg z \le 0$.

3. Начало координат $z=0$, но оно уже исключено условием $|z|=2$.

Точки на отрицательной действительной полуоси ($y=0, x < 0$) не удовлетворяют этому условию, так как их главный аргумент равен $\pi$, а $\pi > 0$.

Таким образом, множество $\arg z \le 0$ — это вся нижняя полуплоскость ($y<0$) вместе с неотрицательной действительной полуосью ($x \ge 0, y=0$).

Построение искомого множества

Чтобы найти искомое множество, нужно найти пересечение двух описанных множеств: окружности $x^2+y^2=4$ и области $\arg z \le 0$.

Это пересечение — та часть окружности, которая лежит в нижней полуплоскости ($y \le 0$), то есть нижняя полуокружность.

Необходимо проверить концы этой дуги, которые лежат на действительной оси: $z=2$ и $z=-2$.

Для точки $z=2$ (координаты $(2,0)$): $|z|=2$ и $\arg z = 0$. Условие $0 \le 0$ выполняется, следовательно, эта точка принадлежит искомому множеству.

Для точки $z=-2$ (координаты $(-2,0)$): $|z|=2$, но главный аргумент $\arg z = \pi$. Условие $\pi \le 0$ не выполняется, следовательно, эта точка не принадлежит искомому множеству.

В итоге, искомое множество — это нижняя полуокружность окружности радиусом 2 с центром в начале координат, включая правую конечную точку $(2,0)$ и исключая левую конечную точку $(-2,0)$.

Графически это изображается как дуга окружности $x^2+y^2=4$, идущая от точки $(-2,0)$ через точку $(0,-2)$ до точки $(2,0)$. Точка $(2,0)$ отмечается закрашенным кружком, а точка $(-2,0)$ — выколотым (незакрашенным) кружком.

Ответ: Искомое множество точек на комплексной плоскости представляет собой нижнюю полуокружность окружности $|z|=2$ (то есть дугу, задаваемую уравнением $x^2+y^2=4$ при $y \le 0$), которая включает точку $z=2$ и исключает точку $z=-2$.