Номер 2, страница 327, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Какую числовую последовательность называют:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху;

в) ограниченной?

а) ограниченной снизу

Числовую последовательность $(x_n)$ называют ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех членов последовательности выполняется неравенство $x_n \ge m$. Это означает, что все члены последовательности больше или равны некоторому числу $m$, которое называется нижней границей последовательности.

Пример: Последовательность, заданная формулой $x_n = n^2$, то есть $1, 4, 9, 16, \dots$, ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 (или любое число меньше 1, например, 0), так как для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_n = n^2 \ge 1$.

Ответ: Последовательность называют ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что все члены последовательности не меньше этого числа, то есть для любого номера $n$ выполняется $x_n \ge m$.

б) ограниченной сверху

Числовую последовательность $(x_n)$ называют ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех членов последовательности выполняется неравенство $x_n \le M$. Это означает, что все члены последовательности меньше или равны некоторому числу $M$, которое называется верхней границей последовательности.

Пример: Последовательность, заданная формулой $x_n = \frac{1}{n}$, то есть $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$, ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число 1 (или любое число больше 1), так как для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_n = \frac{1}{n} \le 1$.

Ответ: Последовательность называют ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что все члены последовательности не больше этого числа, то есть для любого номера $n$ выполняется $x_n \le M$.

в) ограниченной

Числовую последовательность называют ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху. Другими словами, существуют такие числа $m$ и $M$, что для всех членов последовательности $(x_n)$ выполняется двойное неравенство $m \le x_n \le M$.

Это условие равносильно тому, что существует такое положительное число $C > 0$, что для всех членов последовательности выполняется неравенство $|x_n| \le C$. Это означает, что все члены последовательности по абсолютному значению не превосходят некоторого числа $C$.

Пример: Последовательность, заданная формулой $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$, то есть $-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$, является ограниченной. Все её члены заключены в промежутке $[-1, \frac{1}{2}]$, то есть $-1 \le x_n \le \frac{1}{2}$. Также можно сказать, что $|x_n| \le 1$ для всех $n$.

Ответ: Последовательность называют ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху, то есть существуют числа $m$ и $M$, между которыми заключены все члены последовательности ($m \le x_n \le M$).