Номер 2, страница 357, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Что понимают под мгновенной скоростью прямолинейного движения материальной точки в момент времени t? Напишите формулу для вычисления мгновенной скорости, если известен закон движения $s = s(t)$.

Что понимают под мгновенной скоростью прямолинейного движения материальной точки в момент времени t?

При прямолинейном движении материальной точки её положение на прямой в любой момент времени $t$ задается законом движения $s = s(t)$, где $s$ — это координата или путь, пройденный от начальной точки. Чтобы определить мгновенную скорость, сначала рассмотрим понятие средней скорости. Средняя скорость на некотором промежутке времени $\Delta t$ — это отношение перемещения $\Delta s$ к длительности этого промежутка времени.

Пусть в момент времени $t$ точка находилась в положении $s(t)$, а в более поздний момент времени $t + \Delta t$ — в положении $s(t + \Delta t)$. Тогда за время $\Delta t$ точка совершила перемещение $\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t)$. Средняя скорость движения на этом промежутке вычисляется как:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

Средняя скорость является характеристикой движения на всем интервале $\Delta t$ и не дает точного значения скорости в конкретный момент $t$. Чтобы найти скорость именно в момент $t$ (мгновенную скорость), необходимо устремить промежуток времени $\Delta t$ к нулю. Мгновенная скорость — это предел, к которому стремится средняя скорость при $\Delta t \to 0$.

Ответ: Под мгновенной скоростью прямолинейного движения материальной точки в момент времени $t$ понимают предел отношения перемещения $\Delta s$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это перемещение произошло, при условии, что $\Delta t$ стремится к нулю. Это есть физический смысл производной функции пути по времени.

Напишите формулу для вычисления мгновенной скорости, если известен закон движения s = s(t).

Исходя из определения, мгновенная скорость $v(t)$ является пределом средней скорости. Математически это записывается так:

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

В математическом анализе этот предел является определением производной функции $s(t)$ по переменной $t$. Следовательно, чтобы найти мгновенную скорость точки в любой момент времени, необходимо найти производную от функции $s(t)$, которая описывает закон движения. Производная пути по времени равна скорости.

Ответ: Формула для вычисления мгновенной скорости $v(t)$, если известен закон движения $s = s(t)$, имеет вид: $v(t) = s'(t)$.