Страница 357, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Как найти среднюю скорость прямолинейного движения материальной точки за промежуток времени $[t; t + \Delta t]$, если известен закон движения $s = s(t)$?

Средняя скорость $v_{ср}$ прямолинейного движения материальной точки по определению — это отношение перемещения точки $\Delta s$ к промежутку времени $\Delta t$, в течение которого это перемещение произошло. Таким образом, основная формула для нахождения средней скорости имеет вид: $v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$.

Нам известен закон движения $s = s(t)$, который определяет положение (координату) материальной точки в любой момент времени $t$. Мы ищем среднюю скорость на временном интервале $[t; t + \Delta t]$.

Сначала найдем перемещение точки, $\Delta s$, за этот интервал. В начальный момент времени $t$ положение точки было $s(t)$. В конечный момент времени $t + \Delta t$ положение точки стало $s(t + \Delta t)$. Перемещение — это разность между конечным и начальным положением: $ \Delta s = s(t + \Delta t) - s(t) $.

Длительность самого промежутка времени, как следует из его границ, составляет $(t + \Delta t) - t = \Delta t$.

Теперь, подставив найденные выражения для перемещения $\Delta s$ и промежутка времени $\Delta t$ в исходную формулу для средней скорости, мы получим итоговую формулу для расчета, используя известный закон движения $s(t)$.

Ответ: Чтобы найти среднюю скорость прямолинейного движения материальной точки за промежуток времени $[t; t + \Delta t]$ при известном законе движения $s = s(t)$, нужно использовать формулу: $v_{ср} = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$.

2. Что понимают под мгновенной скоростью прямолинейного движения материальной точки в момент времени t? Напишите формулу для вычисления мгновенной скорости, если известен закон движения $s = s(t)$.

Что понимают под мгновенной скоростью прямолинейного движения материальной точки в момент времени t?

При прямолинейном движении материальной точки её положение на прямой в любой момент времени $t$ задается законом движения $s = s(t)$, где $s$ — это координата или путь, пройденный от начальной точки. Чтобы определить мгновенную скорость, сначала рассмотрим понятие средней скорости. Средняя скорость на некотором промежутке времени $\Delta t$ — это отношение перемещения $\Delta s$ к длительности этого промежутка времени.

Пусть в момент времени $t$ точка находилась в положении $s(t)$, а в более поздний момент времени $t + \Delta t$ — в положении $s(t + \Delta t)$. Тогда за время $\Delta t$ точка совершила перемещение $\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t)$. Средняя скорость движения на этом промежутке вычисляется как:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

Средняя скорость является характеристикой движения на всем интервале $\Delta t$ и не дает точного значения скорости в конкретный момент $t$. Чтобы найти скорость именно в момент $t$ (мгновенную скорость), необходимо устремить промежуток времени $\Delta t$ к нулю. Мгновенная скорость — это предел, к которому стремится средняя скорость при $\Delta t \to 0$.

Ответ: Под мгновенной скоростью прямолинейного движения материальной точки в момент времени $t$ понимают предел отношения перемещения $\Delta s$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это перемещение произошло, при условии, что $\Delta t$ стремится к нулю. Это есть физический смысл производной функции пути по времени.

Напишите формулу для вычисления мгновенной скорости, если известен закон движения s = s(t).

Исходя из определения, мгновенная скорость $v(t)$ является пределом средней скорости. Математически это записывается так:

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

В математическом анализе этот предел является определением производной функции $s(t)$ по переменной $t$. Следовательно, чтобы найти мгновенную скорость точки в любой момент времени, необходимо найти производную от функции $s(t)$, которая описывает закон движения. Производная пути по времени равна скорости.

Ответ: Формула для вычисления мгновенной скорости $v(t)$, если известен закон движения $s = s(t)$, имеет вид: $v(t) = s'(t)$.

3. Как определяют касательную к плоской кривой?

Касательная к плоской кривой в некоторой её точке $M_0$ определяется как предельное положение секущей прямой, проходящей через эту точку $M_0$ и другую точку $M$ на кривой, когда точка $M$ стремится к точке $M_0$ вдоль кривой.

Аналитическое определение и уравнение касательной зависят от способа задания кривой.

Касательная к кривой, заданной явным уравнением y = f(x)

Если плоская кривая задана как график функции $y = f(x)$, и эта функция дифференцируема в точке $x_0$, то в точке $M_0(x_0, y_0)$, где $y_0 = f(x_0)$, существует касательная.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$

Ответ: Для кривой $y = f(x)$ уравнение касательной в точке $(x_0, f(x_0))$ определяется формулой $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$, где $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$.

Касательная к кривой, заданной параметрически

Если кривая задана параметрическими уравнениями $x = x(t)$ и $y = y(t)$, и функции $x(t)$ и $y(t)$ дифференцируемы в точке $t_0$, а производные $x'(t_0)$ и $y'(t_0)$ не равны нулю одновременно, то касательная в точке $M_0(x(t_0), y(t_0))$ существует.

Направляющим вектором касательной является вектор производных $\vec{s} = (x'(t_0), y'(t_0))$.

Каноническое уравнение касательной в точке, соответствующей значению параметра $t_0$, имеет вид: $\frac{x - x(t_0)}{x'(t_0)} = \frac{y - y(t_0)}{y'(t_0)}$

Если $x'(t_0) \neq 0$, то угловой коэффициент касательной равен $k = \frac{dy}{dx} = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$. Если $x'(t_0) = 0$ (а $y'(t_0) \neq 0$), касательная вертикальна и ее уравнение $x = x(t_0)$. Если $y'(t_0) = 0$ (а $x'(t_0) \neq 0$), касательная горизонтальна и ее уравнение $y = y(t_0)$.

Ответ: Для кривой, заданной параметрически $x=x(t), y=y(t)$, уравнение касательной в точке, соответствующей параметру $t_0$, имеет вид $\frac{x - x(t_0)}{x'(t_0)} = \frac{y - y(t_0)}{y'(t_0)}$.

Касательная к кривой, заданной неявно

Если кривая задана неявным уравнением $F(x, y) = 0$, и в точке $M_0(x_0, y_0)$ на этой кривой существуют непрерывные частные производные $\frac{\partial F}{\partial x}$ и $\frac{\partial F}{\partial y}$, которые не обращаются в ноль одновременно (такая точка называется неособой), то касательная в этой точке существует.

Вектор градиента $\nabla F = \left(\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0)\right)$ является вектором нормали (перпендикуляром) к кривой в точке $(x_0, y_0)$.

Так как касательная перпендикулярна вектору нормали, ее уравнение можно записать так: $\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot (x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot (y - y_0) = 0$

Ответ: Для кривой, заданной неявно $F(x, y) = 0$, уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ определяется формулой $\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot (x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot (y - y_0) = 0$.

4. Напишите формулу для вычисления углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$, если известно, что в этой точке существует касательная, непараллельная оси ординат.

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, по геометрическому смыслу производной равен значению производной этой функции в данной точке.

Обозначим искомый угловой коэффициент буквой $k$. Тогда основная формула, связывающая его с функцией, выглядит так:
$k = f'(a)$

Здесь $f'(a)$ — это производная функции $f(x)$, вычисленная в точке $x = a$.

Условие, что в этой точке существует касательная, непараллельная оси ординат, означает, что функция $f(x)$ дифференцируема в точке $a$, и её производная $f'(a)$ является конечным числом.

Для непосредственного вычисления значения производной (и, следовательно, углового коэффициента) используется её определение через предел. Существует две эквивалентные формы записи этого предела, которые и являются фундаментальными формулами для вычисления:

1. Формула через приращение аргумента $\Delta x$:
$k = f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$

2. Формула через переменную $x$, стремящуюся к $a$:
$k = f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Ответ: Угловой коэффициент $k$ касательной вычисляется по формуле $k = f'(a)$, где для нахождения производной $f'(a)$ используется одна из формул: $k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$ или $k = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.

5. Приведите пример графика функции, у которого касательную нельзя провести:

а) в одной точке;

б) в двух точках.

Касательную к графику функции нельзя провести в точке, если в этой точке функция не является дифференцируемой. Основные причины отсутствия производной в точке:

• Точка излома (угол): односторонние производные (слева и справа) существуют, но не равны друг другу.
• Точка разрыва: функция не является непрерывной в этой точке.
• Вертикальная касательная: предел отношения приращения функции к приращению аргумента равен бесконечности.

Рассмотрим примеры, основанные на создании точек излома.

а) в одной точке
Простейшим примером функции, у которой нельзя провести касательную в одной точке, является модуль. Рассмотрим функцию $y = |x|$.
График этой функции представляет собой две прямые, выходящие из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Эти две прямые образуют "угол" или "излом" в точке $(0, 0)$.
В точке $x = 0$ производная не существует. Производная справа от нуля равна 1 (тангенс угла наклона прямой $y=x$), а производная слева от нуля равна -1 (тангенс угла наклона прямой $y=-x$). Так как производные слева и справа не совпадают ($1 \ne -1$), то в точке $x = 0$ невозможно провести единственную касательную. Во всех остальных точках касательная существует и совпадает с самим графиком функции.

Ответ: Функция $y = |x|$, у которой нельзя провести касательную в точке $x = 0$.

б) в двух точках
Чтобы получить функцию с двумя точками, в которых нельзя провести касательную, можно "создать" два излома на графике. Этого можно достичь, например, взяв модуль от функции, которая имеет два корня.
Рассмотрим функцию $y = |x^2 - 4|$.
Сначала построим график параболы $y = x^2 - 4$. Это стандартная парабола, смещенная на 4 единицы вниз. Она пересекает ось абсцисс в точках, где $x^2 - 4 = 0$, то есть в точках $x = -2$ и $x = 2$.
Применение модуля $y = |x^2 - 4|$ означает, что вся часть графика, которая находится ниже оси $Ox$ (между $x=-2$ и $x=2$), симметрично отражается вверх относительно этой оси. В результате в точках $x = -2$ и $x = 2$ образуются острые "углы" (изломы).
В этих двух точках производная не существует, так как односторонние производные не равны. Например, в точке $x = 2$:

• Справа от $x=2$ функция ведет себя как $y = x^2 - 4$, и ее производная $y' = 2x$ в точке $x=2$ равна $2 \cdot 2 = 4$.
• Слева от $x=2$ функция ведет себя как $y = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$, и ее производная $y' = -2x$ в точке $x=2$ равна $-2 \cdot 2 = -4$.

Поскольку $4 \ne -4$, в точке $x=2$ касательную провести нельзя. Аналогичная ситуация и в точке $x=-2$.

Ответ: Функция $y = |x^2 - 4|$, у которой нельзя провести касательную в точках $x = -2$ и $x = 2$.

6. Что называют производной функции $y = f(x)$ в точке $x = a$?

Производной функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел, если он существует и конечен, обозначается как $f'(a)$.

Рассмотрим это определение более подробно.

1. Приращение аргумента. Мы изменяем значение аргумента $x$ от начального значения $a$ на некоторую малую величину $\Delta x$. Новое значение аргумента становится $a + \Delta x$. Величина $\Delta x$ и называется приращением аргумента.

2. Приращение функции. Это изменение значения функции, соответствующее изменению аргумента. Оно равно разности между новым значением функции $f(a + \Delta x)$ и первоначальным значением $f(a)$. Приращение функции обозначается как $\Delta y$ или $\Delta f(a)$:
$\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$.

3. Отношение приращений. Это отношение показывает среднюю скорость изменения функции на отрезке $[a, a + \Delta x]$:
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$.

4. Предел отношения. Производная — это мгновенная скорость изменения функции в точке $x=a$. Чтобы найти ее, мы устремляем приращение аргумента $\Delta x$ к нулю. Таким образом, производная функции $f(x)$ в точке $a$ определяется формулой:

$f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$

Также используется эквивалентная запись, где $x$ стремится к $a$:

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Геометрический смысл производной: Значение производной $f'(a)$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$. Уравнение этой касательной имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

Физический смысл производной: Если функция $s(t)$ описывает закон движения материальной точки (где $s$ — путь, $t$ — время), то производная $s'(t_0)$ представляет собой мгновенную скорость движения этой точки в момент времени $t_0$. В общем случае производная описывает скорость протекания какого-либо процесса.

Ответ: Производной функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ называется предел отношения приращения функции $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ к приращению аргумента $\Delta x$ при $\Delta x \to 0$, то есть $f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$.

7. В чём состоит физический смысл производной?

6. Что называют производной функции y = f(x) в точке x = a?

Производной функции $y=f(x)$ в точке $x=a$ называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, при условии, что этот предел существует.

Рассмотрим функцию $y=f(x)$, которая определена в некоторой окрестности точки $a$. Дадим аргументу $x$ в этой точке приращение $\Delta x$ (небольшое изменение, может быть положительным или отрицательным). В результате значение функции также изменится на величину $\Delta y$, которая называется приращением функции.

Приращение аргумента: $\Delta x = x - a$.
Приращение функции: $\Delta y = f(x) - f(a) = f(a + \Delta x) - f(a)$.

Отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$ представляет собой среднюю скорость изменения функции на интервале от $a$ до $a+\Delta x$.

Производная функции в точке $a$, обозначаемая как $f'(a)$ или $\frac{dy}{dx}\big|_{x=a}$, — это предел этого отношения, когда приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю. Этот предел показывает мгновенную скорость изменения функции в точке $a$.

Таким образом, по определению:
$f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$

Ответ: Производной функции $y=f(x)$ в точке $x=a$ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, то есть $f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$.

7. В чём состоит физический смысл производной?

Физический (или механический) смысл производной заключается в том, что она характеризует скорость протекания процесса, описываемого функцией. Если некоторая функция $y=f(x)$ описывает физический процесс, то её производная $f'(x)$ — это скорость изменения этого процесса.

Самый классический пример — это прямолинейное движение материальной точки. Пусть закон движения точки задан функцией $s(t)$, где $s$ — это координата (пройденный путь) точки в момент времени $t$.

За промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$ точка переместится на расстояние $\Delta s = s(t+\Delta t) - s(t)$. Средняя скорость движения за этот промежуток времени вычисляется как:
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

Чтобы определить скорость движения не в среднем за какой-то отрезок времени, а точно в данный момент $t$ (мгновенную скорость), необходимо рассматривать всё меньшие и меньшие промежутки времени, то есть устремить $\Delta t$ к нулю. Мгновенная скорость $v(t)$ — это предел, к которому стремится средняя скорость:
$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Это выражение в точности является определением производной функции $s(t)$ по времени $t$. Следовательно, мгновенная скорость есть производная от пути по времени:
$v(t) = s'(t)$

Аналогично можно трактовать и другие физические величины:
- Ускорение — это скорость изменения скорости. Если скорость тела меняется по закону $v(t)$, то его мгновенное ускорение $a(t)$ есть производная от скорости по времени: $a(t) = v'(t)$.
- Сила тока — это скорость изменения заряда. Если количество заряда, протекшего через поперечное сечение проводника, меняется по закону $q(t)$, то сила тока $I(t)$ есть производная от заряда по времени: $I(t) = q'(t)$.
- Мощность — это скорость совершения работы. Если работа, совершаемая силой, изменяется по закону $A(t)$, то мощность $N(t)$ есть производная от работы по времени: $N(t) = A'(t)$.

Ответ: Физический смысл производной состоит в том, что производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ есть мгновенная скорость изменения величины $f$ относительно величины $x$. В частности, производная от координаты по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости по времени — мгновенное ускорение.

8. В чём состоит геометрический смысл производной?

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что её значение равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс.

Рассмотрим этот вывод по шагам. Пусть у нас есть дифференцируемая функция $y = f(x)$.

1. Секущая и её угловой коэффициент.
   Возьмём на графике функции две точки: $M_0$ с координатами $(x_0, f(x_0))$ и $M$ с координатами $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$. Прямая, проходящая через эти две точки, называется секущей. Её угловой коэффициент $k_{сек}$ — это отношение приращения функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$.
   $k_{сек} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
   Этот коэффициент равен тангенсу угла наклона $\beta$ секущей к оси Ox.

2. Переход от секущей к касательной.
   Касательная к графику функции в точке $M_0$ — это предельное положение секущей $M_0M$, когда точка $M$ стремится к точке $M_0$ вдоль кривой. Это стремление означает, что приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю ($\Delta x \to 0$).

3. Угловой коэффициент касательной.
   Соответственно, угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ в точке $M_0$ является пределом углового коэффициента секущей $k_{сек}$ при $\Delta x \to 0$:
   $k_{кас} = \lim_{\Delta x \to 0} k_{сек} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

4. Связь с определением производной.
   Предел, полученный в предыдущем пункте, по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, обозначаемой как $f'(x_0)$.
   Следовательно, мы устанавливаем ключевую связь:
   $f'(x_0) = k_{кас}$

Таким образом, значение производной в точке $x_0$ численно равно угловому коэффициенту касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Если $\alpha$ — это угол наклона касательной к положительному направлению оси Ox, то:

$f'(x_0) = \tan \alpha$

Это свойство позволяет, например, составить уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$. Оно имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Ответ: Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ состоит в том, что её значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведённой к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.

9. Найдите $f'(a)$, если известно, что касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ параллельна оси абсцисс.

Значение производной функции в точке $x=a$, обозначаемое как $f'(a)$, имеет определенный геометрический смысл. Оно равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=a$. Угловой коэффициент касательной, который мы обозначим как $k$, равен тангенсу угла её наклона к положительному направлению оси абсцисс. Таким образом, справедливо равенство: $k = f'(a)$.

Согласно условию задачи, касательная к графику функции в точке $x=a$ параллельна оси абсцисс (оси Ox).

Прямая, параллельная оси абсцисс, является горизонтальной прямой. Угол наклона любой горизонтальной прямой к оси Ox равен $0^\circ$. Следовательно, её угловой коэффициент $k$ также равен нулю, так как $k = \tan(0^\circ) = 0$.

Так как угловой коэффициент касательной в точке $x=a$ равен $f'(a)$ и, по условию, этот же коэффициент равен 0, мы можем заключить, что $f'(a) = 0$.

Ответ: 0

функции $y = f(x)$ и парал...

Опишите последовательность своих действий, если вам нужно вычислить $f'(a)$ для функции $y = f(x)$.

Для того чтобы вычислить значение производной $f'(a)$ для функции $y=f(x)$ в точке $a$, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Нахождение производной функции $f'(x)$

   Первый шаг — найти производную от данной функции $f(x)$. Для этого применяются правила дифференцирования (например, производная суммы/разности, произведения, частного, а также правило дифференцирования сложной функции) и таблица производных элементарных функций. В результате этого шага мы получаем аналитическое выражение для производной — функцию $f'(x)$.

2. Подстановка значения $a$ в выражение для производной

   После того как функция производной $f'(x)$ найдена, в это выражение необходимо подставить конкретное значение аргумента $a$ вместо переменной $x$. В результате мы получим числовое выражение для $f'(a)$.

3. Вычисление числового значения

   На заключительном этапе необходимо выполнить все арифметические операции в полученном выражении, чтобы найти конечное числовое значение $f'(a)$. Это число и является искомым значением производной функции $y=f(x)$ в точке $a$.

Пример:

Пусть требуется вычислить $f'(2)$ для функции $f(x) = x^3 - 4x + 1$.

1. Находим производную $f'(x)$:

   Используем правила дифференцирования и таблицу производных:

   $f'(x) = (x^3 - 4x + 1)' = (x^3)' - (4x)' + (1)' = 3x^2 - 4 + 0 = 3x^2 - 4$.

2. Подставляем значение $a=2$ в $f'(x)$:

   $f'(2) = 3 \cdot (2)^2 - 4$.

3. Вычисляем результат:

   $f'(2) = 3 \cdot 4 - 4 = 12 - 4 = 8$.

Таким образом, значение производной функции $f(x) = x^3 - 4x + 1$ в точке $x=2$ равно 8.

Ответ:

Последовательность действий для вычисления $f'(a)$:

1. Найти производную функции, $f'(x)$, используя правила дифференцирования и таблицу производных.
2. Подставить значение $a$ в полученное выражение для производной, чтобы получить $f'(a)$.
3. Вычислить итоговое числовое значение выражения $f'(a)$.