Номер 11, страница 358, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11. Какую функцию называют дифференцируемой в точке?

Функцию $y = f(x)$ называют дифференцируемой в точке $x_0$, если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует конечный предел отношения приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Этот предел называется производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ и обозначается как $f'(x_0)$.

Таким образом, условие дифференцируемости функции в точке — это существование конечной производной в этой точке, которая вычисляется по формуле:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Эквивалентное определение

Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, если её приращение $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ в этой точке можно представить в виде суммы линейной части и бесконечно малой более высокого порядка:

$\Delta f = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)$ при $\Delta x \to 0$

Здесь $A$ — это константа, равная значению производной $f'(x_0)$, а $o(\Delta x)$ — это функция, для которой выполняется условие $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = 0$. Выражение $A \cdot \Delta x$ является главной линейной частью приращения функции и называется её дифференциалом $dy$.

Геометрический смысл

Дифференцируемость функции в точке означает, что график функции в этой точке имеет единственную невертикальную касательную. Угловой коэффициент этой касательной равен значению производной $f'(x_0)$. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Связь с непрерывностью

Если функция дифференцируема в точке, то она обязательно непрерывна в этой точке. Однако обратное утверждение не всегда верно: непрерывная функция может не быть дифференцируемой. Например, функция $f(x) = |x|$ непрерывна в точке $x=0$, но не дифференцируема в ней, так как её график имеет в этой точке "излом", и провести единственную касательную невозможно.

Ответ: Функцией, дифференцируемой в точке $x_0$, называется функция $f(x)$, для которой в этой точке существует конечная производная. Это эквивалентно тому, что приращение функции в окрестности этой точки можно аппроксимировать линейной функцией (с точностью до бесконечно малой более высокого порядка), а график функции в данной точке имеет единственную невертикальную касательную.