Номер 13, страница 358, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13. Какая существует связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке?

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке является односторонней. Дифференцируемость — это более сильное свойство, чем непрерывность. Это можно выразить в виде двух основных положений.

1. Дифференцируемость функции в точке влечет ее непрерывность в этой точке

Это является фундаментальной теоремой математического анализа. Если функция $f(x)$ имеет производную в точке $x_0$, то она обязательно непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. По определению, это означает, что существует конечный предел, равный производной $f'(x_0)$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)$

Для доказательства непрерывности функции $f(x)$ в точке $x_0$, нам необходимо показать, что предел функции при стремлении аргумента к $x_0$ равен значению функции в этой точке. Это эквивалентно следующему условию:

$\lim_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) = 0$

Рассмотрим разность $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Преобразуем это выражение, умножив и разделив его на $\Delta x$ (при условии, что $\Delta x \neq 0$):

$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \cdot \Delta x$

Теперь найдем предел этого выражения при $\Delta x \to 0$, используя теорему о пределе произведения:

$\lim_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \cdot \Delta x \right) = \left( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \right) \cdot \left( \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x \right)$

Первый сомножитель в правой части равен $f'(x_0)$ (по условию дифференцируемости), а второй равен 0. Таким образом, получаем:

$f'(x_0) \cdot 0 = 0$

Мы доказали, что $\lim_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) = 0$, что и требовалось для доказательства непрерывности функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Ответ: Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Таким образом, дифференцируемость является достаточным условием для непрерывности.

2. Непрерывность функции в точке не влечет ее дифференцируемость в этой точке

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не иметь в ней производной. Это означает, что непрерывность является необходимым, но не достаточным условием для дифференцируемости.

Контрпример:

Рассмотрим функцию $f(x) = |x|$ в точке $x_0 = 0$.

Эта функция непрерывна в точке $x_0 = 0$, поскольку предел функции равен ее значению в этой точке:

$\lim_{x \to 0} |x| = 0$ и $f(0) = |0| = 0$.

Теперь проверим ее на дифференцируемость в точке $x_0 = 0$. Для этого нужно найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|0 + \Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$

Чтобы этот предел существовал, односторонние пределы (справа и слева) должны существовать и быть равны.

Предел справа (когда $\Delta x \to 0^+$): $\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.

Предел слева (когда $\Delta x \to 0^-$): $\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$.

Так как односторонние пределы не равны ($1 \neq -1$), общий предел не существует. Следовательно, функция $f(x) = |x|$ не является дифференцируемой в точке $x_0=0$, хотя и является в ней непрерывной.

Геометрически это означает, что график функции $y = |x|$ является непрерывной линией, но в точке $(0,0)$ имеет излом (острую вершину), в которой невозможно однозначно провести касательную.

Ответ: Непрерывность функции в точке не является достаточным условием для ее дифференцируемости в этой же точке.