Номер 5, страница 369, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Сформулируйте правило вычисления производной частного двух функций.

Правило вычисления производной частного двух функций, также известное как правило частного, формулируется следующим образом:

Если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, и при этом функция-знаменатель $v(x)$ не равна нулю в этой точке ($v(x) \neq 0$), то их частное $y(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ также является дифференцируемым в точке $x$. Производная этого частного находится по следующему правилу:

Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность между произведением производной числителя на знаменатель и произведением числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат первоначального знаменателя.

В виде формулы это правило записывается так: $$ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $$ Или, используя более краткую запись: $$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

Доказательство проводится с использованием определения производной. Пусть дана функция $y(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$. Её производная по определению: $$ y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x + \Delta x) - y(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} $$

Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $v(x + \Delta x)v(x)$: $$ y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{\Delta x \cdot v(x + \Delta x)v(x)} $$

Для дальнейшего преобразования используем искусственный прием: прибавим и вычтем в числителе одно и то же выражение $u(x)v(x)$: $$ y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x) + u(x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{\Delta x \cdot v(x + \Delta x)v(x)} $$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки: $$ y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x)[u(x + \Delta x) - u(x)] - u(x)[v(x + \Delta x) - v(x)]}{\Delta x \cdot v(x + \Delta x)v(x)} $$

Разделим почленно числитель на $\Delta x$ и воспользуемся свойствами пределов: $$ y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x)\frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} - u(x)\frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}}{v(x + \Delta x)v(x)} $$

Поскольку по условию функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы, то существуют пределы отношений приращений функций к приращению аргумента, которые и являются их производными: $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} = u'(x) $$ $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} = v'(x) $$ Так как дифференцируемая функция непрерывна, то $\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) = v(x)$. Подставляя эти значения в выражение для $y'(x)$, получаем итоговую формулу: $$ y'(x) = \frac{v(x)u'(x) - u(x)v'(x)}{v(x)v(x)} = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Доказательство завершено.

Найдем производную функции $y = \frac{\sin x}{x^3}$.

В данном случае числитель $u(x) = \sin x$, а знаменатель $v(x) = x^3$. Найдем их производные: $$ u'(x) = (\sin x)' = \cos x $$ $$ v'(x) = (x^3)' = 3x^2 $$

Теперь применим формулу производной частного: $$ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(\cos x)(x^3) - (\sin x)(3x^2)}{(x^3)^2} $$

Упростим полученное выражение: $$ y' = \frac{x^3\cos x - 3x^2\sin x}{x^6} = \frac{x^2(x\cos x - 3\sin x)}{x^6} = \frac{x\cos x - 3\sin x}{x^4} $$

Ответ: Производная частного двух дифференцируемых функций $u$ и $v$ (где $v \neq 0$) вычисляется по формуле: $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $. Словесно: производная частного равна дроби, в числителе которой находится "производная числителя, умноженная на знаменатель, минус числитель, умноженный на производную знаменателя", а в знаменателе — "знаменатель в квадрате".