Номер 2, страница 380, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

справедливо приближённое равенство $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$, если $y = f(x)$ — дифференцируемая в точке $x = a$ функция.

Данное приближенное равенство является фундаментальным в дифференциальном исчислении и представляет собой линеаризацию функции в окрестности точки. Объяснение его справедливости вытекает непосредственно из определения производной.

По определению, производная функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ (при условии, что функция дифференцируема в этой точке) — это предел отношения приращения функции $\Delta f = f(x) - f(a)$ к приращению аргумента $\Delta x = x - a$ при $\Delta x \to 0$: $$f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

Тот факт, что этот предел существует и равен числу $f'(a)$, означает, что при $x$, достаточно близком к $a$, дробь $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ очень мало отличается от $f'(a)$. Это можно записать формально, введя функцию $\alpha(x)$, которая представляет собой эту разницу: $$\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a) + \alpha(x)$$ Из определения предела следует, что $\alpha(x)$ является бесконечно малой функцией при $x \to a$, то есть: $$\lim_{x \to a} \alpha(x) = 0$$

Теперь преобразуем полученное точное равенство, чтобы выразить из него $f(x)$. Для этого сначала умножим обе его части на $(x - a)$: $$f(x) - f(a) = f'(a)(x - a) + \alpha(x)(x - a)$$ Затем перенесем $f(a)$ в правую часть: $$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \alpha(x)(x - a)$$ Это равенство является абсолютно точным для любой дифференцируемой функции.

Рассмотрим последнее слагаемое в правой части: $\alpha(x)(x - a)$. Когда $x$ находится в малой окрестности точки $a$, разность $(x - a)$ является малой величиной. В то же время, как мы установили, $\alpha(x)$ также стремится к нулю. Произведение двух бесконечно малых величин является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с $(x - a)$. Это означает, что при приближении $x$ к $a$ слагаемое $\alpha(x)(x - a)$ стремится к нулю "быстрее", чем слагаемое $f'(a)(x-a)$.

Поскольку в "достаточно малой окрестности точки $x=a$" значение слагаемого $\alpha(x)(x-a)$ становится пренебрежимо малым, мы можем им пренебречь, чтобы получить приближенную формулу. Отбрасывая это слагаемое, мы и получаем искомое приближенное равенство: $$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$$

Геометрически это равенство означает, что график дифференцируемой функции в небольшой окрестности точки $(a, f(a))$ очень хорошо аппроксимируется (приближается) своей касательной, проведенной в этой же точке. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ как раз и есть $y = f(a) + f'(a)(x - a)$. Таким образом, мы заменяем поведение сложной функции вблизи точки на поведение простой линейной функции.

Ответ: Приближенное равенство $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ справедливо потому, что оно получается из точного равенства $f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + o(x-a)$, следующего из определения производной, путем отбрасывания бесконечно малого слагаемого $o(x-a) = \alpha(x)(x - a)$, которое в малой окрестности точки $a$ пренебрежимо мало. Геометрический смысл этого приближения заключается в замене графика функции $y=f(x)$ его касательной в точке $(a, f(a))$.