Номер 7, страница 392, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума.

7. Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума.

Эта теорема также известна как теорема Ферма. Она устанавливает связь между существованием локального экстремума у дифференцируемой функции и значением её производной в этой точке.

Формулировка теоремы:

Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и имеет в этой точке локальный экстремум (локальный максимум или локальный минимум). Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то её производная в этой точке равна нулю: $$f'(x_0) = 0$$

Подробное разъяснение:

1. Необходимое, но не достаточное условие.
Теорема утверждает, что если в точке $x_0$ есть экстремум и функция в ней дифференцируема, то производная обязательно равна нулю. Однако обратное неверно: равенство производной нулю в некоторой точке не гарантирует наличие в ней экстремума. Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными. Экстремум в них может быть, а может и не быть.
Пример: для функции $f(x) = x^3$ её производная $f'(x) = 3x^2$ обращается в ноль в точке $x_0 = 0$. Однако в этой точке функция не имеет экстремума, а имеет точку перегиба.

2. Геометрический смысл.
Геометрически условие $f'(x_0) = 0$ означает, что касательная к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$ является горизонтальной, то есть параллельной оси абсцисс ($Ox$).

3. Важность условия дифференцируемости.
Теорема применима только для точек, в которых функция имеет производную. Экстремум может существовать и в точке, где функция не является дифференцируемой.
Пример: функция $f(x) = |x|$ имеет в точке $x_0 = 0$ локальный минимум, но её производная в этой точке не существует.

Из теоремы Ферма следует, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри него, то её локальные экстремумы могут достигаться только в критических точках — точках, где производная равна нулю или не существует.

Ответ: Если функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то её производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.