Номер 3, страница 409, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Может ли непрерывная на отрезке функция достигать наименьшего и наибольшего значений во внутренних точках отрезка? Приведите пример.

Да, непрерывная на отрезке функция может достигать своего наименьшего и наибольшего значений во внутренних точках отрезка.

Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная функция на замкнутом отрезке $[a, b]$ достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних точках. Для того чтобы оба экстремума (и максимум, и минимум) достигались именно во внутренних точках, необходимо, чтобы значения функции на концах отрезка, $f(a)$ и $f(b)$, были строго меньше наибольшего значения и строго больше наименьшего значения на этом отрезке.

В качестве примера рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0, 2\pi]$.

Данная функция является непрерывной на всем отрезке $[0, 2\pi]$. Найдем ее экстремумы:

• Наибольшее значение функции $f(x) = \sin(x)$ равно $1$. На заданном отрезке оно достигается в точке $x = \frac{\pi}{2}$.
• Наименьшее значение функции равно $-1$. На заданном отрезке оно достигается в точке $x = \frac{3\pi}{2}$.

Обе точки, $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$, являются внутренними точками отрезка $[0, 2\pi]$, поскольку $0 < \frac{\pi}{2} < 2\pi$ и $0 < \frac{3\pi}{2} < 2\pi$.

При этом значения функции на концах отрезка равны:

• $f(0) = \sin(0) = 0$
• $f(2\pi) = \sin(2\pi) = 0$

Поскольку наименьшее значение $-1$ меньше, чем значения на концах ($0$), а наибольшее значение $1$ больше, чем значения на концах ($f_{min} = -1 < 0 < 1 = f_{max}$), то ни наибольшее, ни наименьшее значения не достигаются на концах отрезка. Таким образом, оба экстремума достигаются именно во внутренних точках.

Ответ: Да, может. Например, функция $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0, 2\pi]$ достигает наибольшего значения $1$ во внутренней точке $x = \frac{\pi}{2}$ и наименьшего значения $-1$ во внутренней точке $x = \frac{3\pi}{2}$.