Номер 6, страница 410, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Опишите последовательность своих действий, если вам нужно найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$ необходимо выполнить следующую последовательность действий (алгоритм):

Шаг 1: Нахождение производной функции

Вычислить производную $f'(x)$ данной функции $f(x)$. Это первый шаг для анализа поведения функции: её возрастания и убывания.

Шаг 2: Нахождение критических точек

Найти критические точки функции. Это точки из области определения функции, в которых её производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. Для этого необходимо решить уравнение $f'(x) = 0$ и определить точки, в которых производная не определена.

Шаг 3: Отбор точек, принадлежащих отрезку

Из всех найденных на предыдущем шаге критических точек выбрать только те, которые принадлежат заданному отрезку $[a; b]$. Точки, не входящие в этот отрезок, не рассматриваются.

Шаг 4: Вычисление значений функции в ключевых точках

Вычислить значения функции $y = f(x)$ в каждой из отобранных на шаге 3 критических точек, а также на концах заданного отрезка, то есть в точках $x = a$ и $x = b$.

Шаг 5: Сравнение полученных значений и формулировка вывода

Среди всех значений функции, вычисленных на шаге 4, найти самое большое и самое маленькое. Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция обязательно достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений. Эти значения находятся среди вычисленных.

• Наибольшее из полученных чисел будет являться наибольшим значением функции на отрезке: $ \max_{[a;b]} f(x) $.
• Наименьшее из полученных чисел будет являться наименьшим значением функции на отрезке: $ \min_{[a;b]} f(x) $.

Ответ:

Последовательность действий для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ такова: 1) найти производную функции $f'(x)$; 2) найти критические точки функции (где $f'(x)=0$ или не существует) и отобрать те из них, что лежат на отрезке $[a; b]$; 3) вычислить значения функции $f(x)$ в отобранных критических точках и на концах отрезка (в точках $a$ и $b$); 4) сравнить все полученные значения, выбрав из них самое большое (наибольшее значение) и самое маленькое (наименьшее значение).