Номер 11, страница 410, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале достигать наибольшего и не достигать наименьшего значения? Приведите пример.

Да, такая ситуация возможна. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях гарантирует, что непрерывная функция достигает своих экстремумов на замкнутом отрезке $[a, b]$. Однако на открытом интервале $(a, b)$ это утверждение не всегда верно. Функция может быть ограничена, но не достигать своей точной верхней (супремума) или нижней (инфимума) грани. Для выполнения условий задачи нужно, чтобы функция имела максимум внутри интервала, а ее инфимум был равен пределу на одной из границ интервала.

Рассмотрим в качестве примера функцию $f(x) = -(x-3.5)^2+1$ на интервале $(2; 5)$.

1. Данная функция является многочленом, а значит, она непрерывна на всей числовой прямой, в том числе и на интервале $(2; 5)$.

2. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Своё наибольшее значение такая функция принимает в вершине. Абсцисса вершины $x_0 = 3.5$. Поскольку точка $x_0 = 3.5$ принадлежит интервалу $(2; 5)$, функция достигает на этом интервале своего наибольшего значения. Оно равно $y_{max} = f(3.5) = -(3.5-3.5)^2+1 = 1$.

3. Теперь исследуем вопрос о наименьшем значении. На интервале $(2; 3.5]$ функция возрастает, а на интервале $[3.5; 5)$ — убывает. Следовательно, наименьшие значения находятся вблизи концов интервала. Вычислим односторонние пределы функции на концах интервала:

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = -(2-3.5)^2+1 = -(-1.5)^2+1 = -2.25+1 = -1.25$.

$\lim_{x \to 5^-} f(x) = -(5-3.5)^2+1 = -(1.5)^2+1 = -2.25+1 = -1.25$.

Точная нижняя грань (инфимум) множества значений функции на интервале $(2; 5)$ равна $-1.25$. Однако, для любой точки $x$ из интервала $(2; 5)$ значение функции $f(x)$ будет строго больше $-1.25$. Таким образом, не существует точки $c \in (2; 5)$, в которой $f(c) = -1.25$. Это означает, что функция не достигает своего наименьшего значения на данном интервале.

Итак, приведенная функция $f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$, достигает на нём своего наибольшего значения, но не достигает наименьшего.

Ответ: Да, может. Пример: функция $f(x) = -(x-3.5)^2+1$ на интервале $(2; 5)$.